貝塞爾曲線擬合

最近寫論文，需要對資料點進行一個擬合，想起以前圖形學學的貝塞爾曲線，便整理了一下。

簡介（摘自百科）

貝塞爾曲線(Bézier curve)，又稱貝茲曲線或貝濟埃曲線，是應用於二維圖形應用程式的數學曲線。一般的向量圖形軟體通過它來精確畫出曲線，貝茲曲線由線段與節點組成，節點是可拖動的支點，線段像可伸縮的皮筋，我們在繪圖工具上看到的鋼筆工具就是來做這種向量曲線的。
貝塞爾曲線於1962，由法國工程師皮埃爾·貝塞爾（Pierre Bézier）所廣泛發表，他運用貝塞爾曲線來為汽車的主體進行設計。貝塞爾曲線最初由Paul de Casteljau於1959年運用de Casteljau演演算法開發，以穩定數值的方法求出貝茲曲線。

公式

線性公式

給定點P0、P1，線性貝茲曲線只是一條兩點之間的直線。說白了，就是給一個t取0到1之間的值，對其進行插值，比如取t=0.3，P0（0,0），P1（1,0）這時候插值點的座標是什麼呢，顯然是Pt（0.3,0），好，現在分別取t=0.1,0.2,…,0.9，那麼我們就可以得到P0，P1之間的10個插值點，將插值點連起來，就是一條線，顯然，t分的值越小，連起來的曲線越光滑，這條線由下式給出：

且其等同於線性插值。

二次方公式

二次方貝茲曲線的路徑由給定點P0、P1、P2，其中P0，P2是資料點，也就是起點和終點，而P1是控制點，二次就不像一次那樣直接線性插值就可以了，但是二次是怎麼做的呢？
同樣，取一個t值，在P0，P1上，用一次方的方法，得到一個點Pt1,在P1，P2上得到一個點Pt2。Pt1和Pt2之間，還是用t得到最終的Pt點，這就是二次方法，其公式如下：

TrueType字型就運用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。

三次方公式

P0、P1、P2、P3四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。其中取點的方式同樣，只是多幾次迭代而已，曲線起始於P0走向P1，並從P2的方向來到P3。一般不會經過P1或P2；這兩個點只是在那裡提供方向資訊。P0和P1之間的間距，決定了曲線在轉而趨進P3之前，走向P2方向的“長度有多長”。
曲線的引數形式為：

現代的成象系統，如PostScript、Asymptote和Metafont，運用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來描繪曲線輪廓。