【Math】證明隨機分佈X1, X2, ..., Xn獨立同分布的最大概率問題

阿新 • • 發佈：2018-11-09

題：設隨機變數 $X_1,X_2, ..., X_n$ 獨立同分布且具有相同的分佈函式，證明：

$P\{X_n > max(X_1, ..., X_{n-1})\} = \frac{1}{n}$

證明：

在以下證明中假設f(x), F(x) 分別為 $X_i$ 共同的概率密度和分佈函式

步驟一： $X_n$ 大於 $X_1$ 到 $X_{n-1}$ 中的全部值也就是說對於任意一個 $X_1, X_2, ..., X_{n-1}$ 均小於 $X_n$ ，所以原式可以寫成

$P(X_1<X_n, X_2<X_n,...,X_{n-1}<X_n)$ 即， $P(X_1<X_n)P(X_2<X_n)...P(X_{n-1}<X_n)$ 。

步驟二：由於所有的隨機變數都服從相同的分佈，如下圖所示，當 $X_n$ 在 $x = x_n$ 這一點時，其他隨機變數均可以取小於 $x_n$

的任意值 (即藍線以下，橫座標軸以上，和紅線以左的區域)。

所以對於每一個隨機變數 $X_i$ ， $P(X_i < X_n)$ 可以表示為：

$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{x_n} f(x_i)dx_i f(x_n)dx_n$

所以步驟一中的概率就可以表示為：

$\int_{-\infty}^{+\infty}\left [ \prod_{i=1}^{n-1}\int_{-\infty}^{x_n} f(x_i)dx_i \right ] f(x_n)dx_n$

步驟三：積分和簡化上面的式子。由於f(x), F(x) 分別為 $X_i$ 共同的概率密度和分佈函式，所以

$\int_{-\infty}^{x_n} f(x_i)dx_i = F(x_n)$

所以上式中括號內相當於n-1個 $F(x_n)$ 相乘，所以式子等於

$\int_{-\infty}^{+\infty}F^{n-1}(x_n) f(x_n)dx_n$

步驟四：最後的積分。由於 $d(\frac{1}{n}F^n(x))/dx = \frac{1}{n}nF^{n-1}(x)f(x)=F^{n-1}(x)f(x)$ , 上面的積分即可寫成：

$\int_{-\infty}^{+\infty}F^{n-1}(x_n) f(x_n)dx_n =\frac{1}{n}F^n(x_n)|^{+\infty}_{-\infty}$

步驟五：對於分佈函式，從負無窮到正無窮的積分為零，所以上面函式就等於 $\frac{1}{n}$ .

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