Θ記號：

該記號圓圈中是個M。Θ記號漸近地給出一個函式的上界和下界。

對於一個給定的函式g(n)，我們用Θ(g(n))來表示以下函式的集合：

Θ(g(n))={f(n)：存在正常量c1、c2和n0，使得對於所有n⩾n0，有0⩽c1g(n)⩽f(n)⩽c2g(n)}。

即若存在正常量c1和c2，使得對於足夠大的n，f(n)能夠夾入c1g(n)和c2g(n)之間，則f(n)屬於集合Θ(g(n))。對在n0及其右邊的所有值，函式f(n)在一個常量因子內等於g(n)，我們稱g(n)是f(n)的一個漸近緊確界(asymptotically tight bound)。

Θ(g(n))的定義要求每個成員f(n)屬於Θ(g(n))集合均漸近非負

引進非正式的Θ記號，其效果相當於捨棄了低階項和忽略了最高階項的係數。

如：

使用定義證明：。

首先要確定正常量c1、c2和n0，使得對於所有n⩾n0，有下式成立：

用n2除上式得：

選擇任何常量c1⩽1/14，可以使左邊的不等式對任何的n⩾7的值成立。同樣的，通過選擇任何常量c2⩾1/2，可以使右邊的不等式對任何n⩾1都成立。

這樣，通過選擇c1=1/14，c2=1/2，n0=7，可以證明12n2−3n=Θ(n2)。

O記號：

O記號給出一個函式的漸近上界。

對於給定的函式g(n)，用O(g(n))來表示以下函式的集合：

O(g(n))={f(n)：存在正常量c和n0，使得對所有n⩾n0，有0⩽f(n)⩽cg(n)}。

O記號為函式給出一個在常量因子內的上界，如果存在正常量c和n0，使得在n0及其右邊，f(n)的值總小於或等於cg(n)，那麼記f(n)=O(g(n))。

Ω記號：

Ω記號給出一個函式的漸近下界。

對於給定的函式g(n)，用Ω(g(n))來表示以下函式的集合：

Ω(g(n))={f(n)：存在正常量c和n0，使得對所有n⩾n0，有0⩽cg(n)⩽f(n)}。

Ω記號為函式給出一個在常量因子內的下界，如果存在正常量c和n0，使得在n0及其右邊，f(n)的值總大於或等於cg(n)，那麼記f(n)=Ω(g(n))。

定理3.1：

對於任意的兩個函式f(n)和g(n)，我們有f(n)=Θ(g(n))，當且僅當f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))。

等式和不等式中的漸近記號：

一般來說，當漸近記號出現在某個公式中，我們將其解釋為代表某個我們不關注名稱的匿名函式。

如：

公式2n2+3n+1=2n2+Θ(n)指2n2+3n+1=2n2+f(n)，其中f(n)是集合Θ(n)中的某個函式。一個表示式中匿名函式的數目可以理解為等於漸近記號出現的次數。

漸近記號的這種用法有助於略去一個等式中無關緊要的細節。

如：

合併排序的最壞情況執行時間遞迴式為：

如果僅對T(n) 的漸近行為感興趣，則沒有必要寫出所有低階項，它們都被包含在由Θ(n) 表示的匿名函式中了。

o記號:

我們使用o記號來表示一個非漸近緊確的上界。

形式化地定義o(g(n))為以下集合：o(g(n))={f(n)：對任意正常量c>0，存在常量n0>0，使得對所有n⩾n0，有0⩽f(n)<cg(n)}。

O記號與o記號主要的區別是在f(n)=O(g(n))中，界0⩽f(n)⩽cg(n)對某個常量c>0成立，但在f(n)=o(g(n))中，界0⩽f(n)<cg(n)對所有常量c>0成立。直觀上，在o記號中，當n趨於無窮時，函式f(n)相對於g(n)來說變得微不足道了。

ω記號：

我們使用ω記號來表示一個非漸近緊確的下界。

ω記號的定義為：f(n)∈ω(g(n))當且僅當g(n)∈o(f(n))。

形式化定義ω(g(n))為以下集合：ω(g(n))={f(n)：對任意正常量c>0，存在常量n0>0，使得對所有n⩾n0，有0⩽cg(n)<f(n)}。

直觀上，當n趨於無窮時，f(n)相對於g(n)來說變得任意大了。

漸近記號的性質：

傳遞性： 

f(n)=Θ(g(n))且g(n)=Θ(h(n)) 蘊涵f(n)=Θ(h(n))
f(n)=O(g(n))且g(n)=O(h(n)) 蘊涵f(n)=O(h(n))
f(n)=Ω(g(n))且g(n)=Ω(h(n)) 蘊涵f(n)=Ω(h(n))
f(n)=o(g(n))且g(n)=o(h(n)) 蘊涵f(n)=o(h(n))
f(n)=ω(g(n))且g(n)=ω(h(n)) 蘊涵f(n)=ω(h(n))

自反性 ：

f(n)=Θ(f(n))
f(n)=O(f(n))
f(n)=Ω(f(n))

對稱性： 

f(n)=Θ(g(n))當且僅當g(n)=Θ(f(n))

轉置對稱性：

f(n)=O(g(n))當且僅當g(n)=Ω(f(n))
f(n)=o(g(n))當且僅當g(n)=ω(f(n))

f(n)=O(g(n)類似於a⩽b
f(n)=Ω(g(n)類似於a⩾b
f(n)=Θ(g(n)類似於a=b
f(n)=o(g(n))類似於a<b
f(n)=ω(g(n))類似於a>b

若f(n)=o(g(n))，則稱f(n)漸近小於g(n)；若f(n)=ω(g(n))，則稱f(n)漸近大於g(n)。

對於任意兩個實數a和b，必然存在a<b、a>b、a=ba<b、a>b、a=b三者之一成立，稱為實數的三分性；而對於漸近符號，則不存在三分性。

習題：

3.1-1：

設f(n)與g(n)都是漸近非負函式。利用記號的基本定義來證明

題目即要證明存在正常數c1，c2，n0；使對於所有n>=n0,有0 <= c1(f(n)+g(n)) <= max(f(n),g(n))<=c2(f(n)+g(n))
因為f(n)+g(n) <= 2max(f(n),g(n))
所以1/2(f(n)+g(n)) <= max(f(n),g(n))

又因為f(n)和g(n)都均非負，
所以max(f(n),g(n)) <= (f(n)+g(n))
所以1/2(f(n)+g(n)) <= max() <= f(n)+g(n)

所以存在正常數c1=1/2,c2=1, n0=0對所有n>0都有有c1(f(n)+g(n)) <= max(f(n),g(n))<=c2(f(n)+g(n))，得證。

3.1-2：

證明對任意實常數a和b，其中b>0，有

因為n+a <= n+|a|
所以當|a| <= n時,n+a <= 2n
因為n+a >= n-|a|
所以當|a| <= n/2時, n-|a| >= n/2
所以n+a >= n/2
綜上可得當n >= 2|a|時,0 < n/2 <= n+a <= 2n

又因為b>0，所以當底數x為正實數時,為單調增函式。故得證。

標準記號與常用函式：