作者：chen_h
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第一篇：計算股票回報率，均值和方差

第二篇：簡單線性迴歸

第三篇：隨機變數和分佈

第四篇：置信區間和假設檢驗

第五篇：多元線性迴歸和殘差分析

第六篇：現代投資組合理論

第七篇：市場風險

第八篇：Fama-French 多因子模型

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介紹

現代投資組合理論（MPT）表明投資者應如何在各種投資中分配財務，以最大限度地降低風險並最大化回報。本章在數學公式上有點多，所以得慢慢看。

風險厭惡

在投資組合理論中，資產的風險通常通過其收益的方差（或者標準差）來衡量。規避風險的投資者不希望他們的財富大幅波動。

可以通過一個簡單的例子來說明風險規避。比如有以下兩種資產，你更加喜歡哪一種資產呢？

• 資產 A 獲得 200 美元或者 0 美元，每個選擇概率為 50%；
• 資產 B 獲得 400 美元或者 -200 美元，每個選擇概率為 50%；

資產 A 和資產 B 的預期回報為：

$E\left(A\right)=$

0.5 ∗ 200 + 0.5 ∗ 0 = 100 E(A) = 0.5*200+0.5*0=100

$E(B) = 0.5*400+0.5*(-200)=100$

他們的回報標準差為：

$\sigma_{A} = \sqrt{0.5(200-100)^{2}+0.5(0-100)^{2}} = 100$

$\sigma_{A} = \sqrt{0.5(400-100)^{2}+0.5(-200-100)^{2}} = 300$

如果你是風險追求者，你可以選擇資產 B，因為你可以獲得更高的回報。MPT 假設投資者更喜歡資產 A，因為兩種資產的預期收益是一樣的，但是資產 A 的風險較小。

投資組合

假設我們將我們財富的一部分 $w_1, w_2, \cdots, w_n$ 投資於 n 個風險資產（標記為 1 到 n），其餘部分投資於無風險資產，例如銀行賬戶中的現金。

顯然， $w_0 + w_1 + w_2 + \cdots + w_n = 1$ ，因為我們的財富包含所有這些資產。假設， $R_0, R_1, R_2, \cdots, R_N$ 為各自的資產收益率，然後我們的投資組合收益率為：

$R_p = w_0R_0+w_1R_1+ \cdots +w_nR_n$

或者，我們可以消除 $w_0$ 得到：

$R_p - R_0 = w_1(R_1-R_0)+ \cdots + w_n(R_n-R_0)$

那麼，我們的預期投資回報是：

$E(R_p) = w_0R_0+w_1E(R_1)+\cdots+w_nE(R_n)$

注意： $E(R_0) = R_0$ ，因為根據定義，無風險回報是固定的。

相關性

在計算投資組合風險之前，我們首先需要了解協方差和相關性。我們測量兩個隨機變數之間的線性關係。

兩個隨機變數 X 和 Y 的協方差定義為：

$Cov(X, Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$

X 和 Y 的相關性（始終在 -1 和 1 之間）是標準化之後的協方差：

$Corr(X, Y) = Cov(\frac{X-E(X)}{\sigma_{X}}, \frac{Y-E(Y)}{\sigma_{Y}})=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}$

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