作者：chen_h
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第一篇：計算股票回報率，均值和方差

第二篇：簡單線性迴歸

第三篇：隨機變數和分佈

第四篇：置信區間和假設檢驗

第五篇：多元線性迴歸和殘差分析

第六篇：現代投資組合理論

第七篇：市場風險

第八篇：Fama-French 多因子模型

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介紹

在有關金融的論文中，你可能會經常聽到資產的 “beta” 或者 “市場風險” 等詞。本章將解釋這些術語的來源以及它們的用處。

資本資產定價模型

正如我們稍後將要看到的，“資產定價” 這個名稱有點誤導，因為 CAPM 告訴我們資產的預期收益而不是價格。在前面的內容中，我們已經介紹了以黑色線顯示的資本市場線（CML）：

所有投資者都應該持有 CML 的投資組合，該投資組合是通過在市場投資組合中投入我們的財富的一小部分以及在無風險資產中的剩餘部分（1-w）來構建的。所以 CML 投資組合的回報是：

$R=w{R}_{ma}$

r k e t + ( 1 − w ) R 0 R = wR_{market} + (1-w)R_{0}

如果，我們讓 $\beta = w$ ，那麼上面的等式就可以變為：

$R - R_{0} = \beta (R_{market} - R_{0})$

請注意， $\beta$ 是衡量我們的 CML 投資組合回報對市場回報的敏感程度的指標。我們對等式兩邊都計算期望：

$E(R) - R_{0} = \beta (E(R_{market} - R_{0})$

我們再對兩邊都取協方差：

$Cov(R-R_{0}, R_{market}) = \beta Cov(R_{market} - R_{0}, R_{market})$

現在應用協方差兩個基本事實：

• Cov(X+c, Y) = Cov(X, Y)，其中 c 是一個常量
• Cov(X, X) = Var(X)

因此，我們可以得到 $\beta$ 值為：

$\beta = \frac{Cov(R, R_{market})}{Var(R_{market})}$

在實踐中如何計算 beta

雖然資本資產定價模型很簡單，但是應用中如何計算可不簡單。我們首先需要選擇計算回報的時間範圍：我們應該使用每日，每週還是每月的回報呢？然後我們需要考慮可用於線性迴歸的資料點的數量。例如，如果我們使用過去1年的月度回報計算 bata 值，那麼我們只有 12 個數據點太少了。此外，資產的 $\beta$ 可以隨著時間變化。以下圖表是 GE 股票的每日資料，其中有6個月的回滾資料視窗：

GE 的 $\beta$ 值約為 0.1 至 0.5 。這就是使用 $\beta$ 時需要小心的原因，因為不考慮時間間隔，談論 $\beta$ 是沒有意義的。

下圖是 beta 的滾動 p 值。p 值在大多數時間保持接近零。然而，在一段時間內，它突然增加到接近 0.1，這就相當於 90% 的置信區間了。這可能是由於一些錯誤定價或者市場動盪造成的。

市場中心

如果投資組合的 $\beta$ 為零，則該投資組合是市場中性的。換句話說，投資組合的回報與市場回報無關。我們說它沒有“市場風險”。一些經典的市場中性策略是配對交易，beta 對衝股票投資組合和其他衍生品策略。我們從 2012 年 3月到 2015年 1 月每日都有道瓊斯 30 種股票的回報。對於每隻股票，其在任何特定日期的 $\beta$ 均使用過去 6 個月的回報計算。隨著這個 6 個月的視窗向前移動， $\beta$ 當然會改變。一旦我們知道每隻股票的 $\beta$ 隨時間的變化，我們可以問：哪些股票的 $\beta$ 彼此相關？下表顯示了每隻股票的 $\beta$ 之間的相關性。

那麼我們如何構建市場中立的投資組合呢？我們來考慮兩個股票 A 和 B：

$R_{A} = R_{0} + \beta (R_{market} - R_{0})$

$R_{B} = R_{0} + \beta (R_{market} - R_{0})$

我們將我們的資金在股票 A 上面分配 w，在股票 B 上面分配 1-w，然後市場中立意味著：

$w\beta_{A} + (1-w)\beta_{B} = 0 \space\space\space\space \Rightarrow \space\space\space\space\space w = \frac{\beta_{B}}{\beta_{B} - \beta_{A}}$

如前所述， $\beta_{A}$ 和 $\beta_{B}$ 將隨著時間而變化，因此市場中性投資組合也將變成如此。然而，只要 $\beta_{A}$ 和 $\beta_{B}$ 具有線性關係，我們就可以用常數 w 來實現市場中性：

$\beta_{A} = m \beta_{B} + c$

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