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洛谷P3747
BZOJ4869
LOJ#2145

Solution

前置知識：廣義尤拉定理。
當 $b\ge\phi(p)$

時：

o d   ϕ ( p ) +

ϕ ( p ) (   m o d   p ) a^b\equiv a^{b\bmod\phi(p)+\phi(p)}(\bmod p)
而題目中的修改：
$c^{c^{c^{...^{a_i}}}}$
實際上是：
$c^{c^{c^{...^{a_i}}}\bmod\phi(p)+\phi(p)}=c^{c^{c^{...^{a_i}}\bmod\phi(\phi(p))+\phi(\phi(p))}\bmod\phi(p)+\phi(p)}$
由於 $p$ 不斷地變成 $\phi(p)$ 之多 $O(\log p)$ 次後會變成 $1$ ，
所以一個位置最多被修改 $O(\log p)$ 之後就不會變。
所以，我們用線段樹維護區間和以及區間內所有位置被修改的最少次數，
修改時遍歷到葉子節點，如果遍歷到一個節點，這個節點被修改的次數達到了上限，就 return 掉。
這樣，每個葉子節點到根的路徑最多被修改 $O(\log p)$ 次。
我們需要對於每個 $a_i$ 和 $j$ ，預處理出：
$F(p,a_i,j)=c^{c^{c^{...^{a_i}}}}\bmod p$
（共 $j$ 個 $c$ ）
根據廣義尤拉定理，上式等於：
$c^{F(\phi(p),a_i,j-1)+\phi(p)}$
遞迴求解。
注意兩個細節：
（1） $c$ 的冪。注意到指數最多隻有 $2\times10^8$ ，所以可以預處理出 $c^0$ ， $c^1$ ，一直到 $c^{2\times 10^4-1}$ 的值，然後再處理 $c^{2\times 10^4}$ ， $(c^{2\times 10^4})^2$ ， $(c^{2\times 10^4})^3$ ， …… 的值，則：
$c^x=(c^{2\times 10^4})^{\lfloor\frac{x}{2\times10^4}\rfloor}\times c^{x\bmod (2\times10^4)}$
（2）注意當指數小於 $\phi(p)$ 則降冪時不能加上 $\phi(p)$ 。
複雜度 $O(n(\log n\log p+\log^2p))$ 。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define p2 p << 1
#define p3 p << 1 | 1
using namespace std;

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res