單源最短路徑--Dijkstra
阿新 • • 發佈：2018-11-10
Dijkstra的用途：
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Dijkstra是一個求單源最短路徑的演算法。
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"單源最短路徑"，顧名思義，從一個源頭到其他結點的最短路徑。而這個演算法，可以求出單個點對其他所有點的最短路徑長度。（有些情況是Dijkstra不能處理的，比如負邊權，遇到這類情況可能就需要使用其他演算法了）
Dijkstra的思想：
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主要思想：
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從源結點開始，遍歷源結點的所有連線的邊，並進行排序，再從邊的值最小的一個邊開始遍歷，在每一次遍歷的過程中，都嘗試更新所儲存的某個結點對於源結點的最短路徑長度（假設我們要到點B，目前我們遍歷到了點A，如果點A到點B的距離加上點A到源點的距離比目前我們之前儲存的
源點到點B的距離短的話，就更新源點到點B的最短路徑，並在之後遍歷連著點B的點（也就是進行BFS））。 -
例子：
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首先，從源結點開始進行BFS（也就是遍歷到達的點所向外連著的點.比如A->B B->A A->C（A連B，B連A，A連C），那麼BFS A結點就是B C）
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在BFS的過程中，每到一個點，就比較一下從 源頭到這個點的路徑長度 和 之前求的從源頭到這個點的最短路徑的長度 大小，如果現在這個路徑長度比較小，就存起來
Dijkstra的實現方法：
- 首先，存圖（使用鄰接表或鏈式前向星（如果不會存圖建議先學存圖，因為這裡不會講怎麼存圖和BFS））.
- 演算法執行過程：
- 把資料（也就是dis陣列）初始化為INF（為什麼要這樣做？這是因為我們要使用較小的值不停更新它，這樣最終就是源點到這個點的最小值了。那怎麼知道某個點所對應的與源點的距離呢？一般是把源點的序號當做陣列的下標。下標是什麼意思呢？比如使用這個程式碼:int i=A[10]，10就是陣列A的一個下標。源點的序號是什麼意思呢？一般使用源點讀入的順序當做源點的序號）
- 準備一個優先佇列，用於之後進行的BFS.
- 在BFS的過程中不斷更新最小值，並且，如果一個點被更新了，就再把被更新的點推入優先佇列，準備之後在這個點上進行BFS.
- 優化
Dijkstra的優化:
- 優化方法：
- 堆優化（這就是使用優先佇列（這裡我的程式碼使用了STL中的priority_queue）的原因）。因為我們是從源點開始遍歷，並不停用離源點儘量小的點來更新其他點的當前最短路徑，所以如果遍歷佇列中的結點時，發現這個結點中所儲存的 向佇列推入這個點時，這個點離源點的距離 與當前這個點到源點的最短路徑不同的話，這是因為這個點的最短路徑已經被別人更新過了，也就是說這個點的資料已經無法使用了。並且，在更新這個點的最短路徑（在我的實現中使用了dis陣列（這個括號內的內容並不重要，只是為了防止一些人不明白怎麼更新這個點的最短路徑））時，肯定已經把這個點推到佇列中了。因此可以得出：如果這個點中儲存的最短路徑（我們用Node結構體，儲存點的序號和將這個點推入佇列時源點到這個點的最短路徑）和目前的最短路徑不一樣，那麼必然這個點中儲存的最短路徑是較長的，並且這個點已經無用了，只會造成重複計算 所以，當我們判斷到這個條件時，就可以直接跳過這個結點。
Dijkstra的使用注意事項：
- 如果圖是無向圖，需要雙向加邊（也就是呼叫兩次addEdge方法，比如A-B這條邊 就可以addEdge(a,b);addEdge(b,a)（這裡忽略了權值））
模板題目地址：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4779
過載運算子版：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
int s,cnt=0,dis[1000010],head[1000010];
//s:源結點 cnt:邊總數,用於存邊 dis:儲存當前的源結點到某個結點的最短路徑長度(下標是結點序號) head:鄰接表,
struct Edge{
int v,w,nxt;
}e[500010];
struct Node{
int u,d;
bool operator <(const Node& rhs)const{
return d>rhs.d;//過載運算子，這個需要背過
}
};
void addEdge(int u,int v,int w){
e[++cnt].v=v;
e[cnt].w=w;
e[cnt].nxt=head[u];
//關於鄰接表:
//首先要明確，鄰接表是一個鏈式結構，也就是說，首先新增的邊在鄰接表的最後面
//最後新增的在前面，在遍歷的時候也是從頭往後遍歷，也就是說最先新增的反而最後被遍歷到.
//當遍歷到最後一個的時候 由於最後一個的後面已經沒有結點了,那麼此時i的值就成為了0(具體看下面的for迴圈程式碼)
//成為0了,也就代表著迴圈該結束了.這時候,迴圈條件不成立,迴圈就結束了.
head[u]=cnt;
}
void dijkstra(){
dis[s]=0;
priority_queue<Node>q;
q.push((Node){s,0});
while(!q.empty()){
Node now=q.top();q.pop();
int d=now.d,u=now.u;
if(d!=dis[u])continue;//堆優化，等同於 if(d>dis[u])continue;，可以相對較好地減少時間複雜度
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].v,w=e[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w){
dis[v]=dis[u]+w;
q.push((Node){v,dis[v]});
}
}
}
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=2147483647;//將源結點到其他結點的路徑長度初始化為儘可能大的值，也就是INF
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
addEdge(x,y,z);
}
dijkstra();
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",dis[i]);
return 0;
}
Pair版：
#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#define P pair<long long,int>
#define INF 2147483647
#define maxn 500005
using namespace std;
priority_queue<P,vector<P>,greater<P> >q;
int dis[maxn],vis[maxn],head[maxn];
int n,m,s;
int cnt;
struct Edge{
int u,v,w,next;
}e[maxn*2];
void add(int u,int v ,int w){
e[++cnt].u=u;
e[cnt].v=v;
e[cnt].w=w;
e[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
void dijkstra(){
while(!q.empty()){
int x=q.top().second;
q.pop();
if(!vis[x]){
vis[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
int v=e[i].v;
dis[v]=min(dis[v],dis[x]+e[i].w);
q.push(make_pair(dis[v],v));
}
}
}
}
int main(){
cin>>n>>m>>s;
for(int i=1;i<=m;i++){
dis[i]=INF;
}
dis[s]=0;
q.push(make_pair(0,s));
for(int i=1;i<=m;i++){
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
}
dijkstra();
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<dis[i]<<" ";
}
cout<<endl;
return 0;
}