資料結構之拓撲排序和關鍵路徑
拓撲排序
在一個表示工程的有向圖中，用頂點表示活動，用弧表示活動之間的優先關係，這樣的有向圖為頂點表示活動的網，稱為AOV網。
基本思路：從AOV網中選擇一個入度為0的頂點輸出，然後刪去此頂點，並刪除以此頂點為尾的弧，繼續重複此步驟，直到輸出全部頂點或者AOV網中不存在入度為0的頂點為止。
在求最小生成樹和最短路徑時，我們用的都是鄰接矩陣，但由於拓撲排序的過程中，需要刪除頂點，顯然用鄰接表會更加方便。因此我們需要為AOV網建立一個鄰接表。考慮到演算法過程中始終要查詢入度為0的頂點，我們在原來頂點表結點結構中，增加一個入度域in：
| 入度 | Vi | 指標 |
|---|---|---|
| in | data | firstedge |
- 把入度為0的都入棧，{V0，V1，V3}
- V3出棧，列印此頂點，輸出頂點個數count+1，將V3連線的兩個頂點V2和V13入度減1。
- 再處理V1，出棧、列印，count+1，將V1連線的頂點V2、V4、V8入度減1，此時V2入度為0，將V2入棧……如此迴圈，列印V2、V6、V0、V4、V5、V8、V7、V12、V9、V10、V13、V11，所以最終列印的結果為：
3->1->2->6->0->4->5->8->7->12->9->10->13->11。入棧的複雜度為O(n)，入度減1執行e次，所以整個演算法的時間複雜度為O(n+e)。
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 14
#define INFINITY 65535
typedef int Status; /* Status是函式的型別,其值是函式結果狀態程式碼，如OK等 */ 最終列印的結果為：3->1->2->6->0->4->5->8->7->12->9->10->13->11。
關鍵路徑
拓撲排序主要是為了解決一個工程能否順利進行的問題，但有時我們還需要解決工程完成需要的最短時間問題。
在一個表示工程的帶權有向圖中，用頂點表示事件，用有向邊表示活動，用邊上的權值表示活動的持續時間，這種網稱為AOE網。
就像寫家庭作業這一事件的最早開始時間為現在，為0，最晚開始時間為兩小時後，為2，最早開始時間不等於最晚開始時間就意味著有空閒。為此，我們需要定義幾個引數：
- 事件的最早發生時間etv：
頂點Vk的最早發生時間 - 事件的最晚發生時間ltv：
頂點Vk的最晚發生時間 - 活動的最早開工時間ete：
即弧Ak的最早發生時間 - 活動的最晚開工時間lte：
即弧Ak的最晚發生時間
- 用
拓撲排序求每個事件的最早發生時間etv：
- 初始化全域性變數ltv，因為etv[9]=27，所以陣列ltv當前的值為{27,27,27,27,27,27,27,27,27,27}
- 將V9出棧，由於V9沒有弧，所以繼續往後執行。
- gettop=8，V8的弧只有一條<V8,V9>，
ltv[8]=min{ltv[9]-3,ltv[8]}=24。 - gettop=7,6,5時同理可得ltv的相應值為19，25，13，此時ltv值為{27，27，27，27，27，13，25，19，24，27}
- 當gettop=4時，V4有兩條弧<V4,V6>、<V4,V7>，
ltv[4]=min{ltv[7]-4，ltv[6]-9}=min{19-4,25-9}=15。同理得到ltv[0-3]的值：
ete=etv則是關鍵活動，沒有任何空閒時間，列印；否則不是關鍵活動，不列印。如下<V0，V2>是關鍵活動，列印；<V0，V1>不列印。
- 依次列印關鍵路徑：
分析整個關鍵路徑的演算法，其時間複雜度為O(n+e)。這裡是唯一一條關鍵路徑，並不等於不存在多條關鍵路徑的有向無環圖。如果是多條關鍵路徑，則單是提高一條關鍵路徑上的關鍵活動速度並不能導致整個工程縮短工期，而必須同時提高几條關鍵路徑上的活動速度。這就像不僅僅需要有事業的成功，還需要有健康的身體以及快樂的生活！
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 30
#define MAXVEX 30
#define INFINITY 65535
typedef int Status; /* Status是函式的型別,其值是函式結果狀態程式碼，如OK等 */
int *etv, *ltv; /* 事件最早發生時間和最遲發生時間陣列，全域性變數 */
int *stack2; /* 用於儲存拓撲序列的棧 */
int top2; /* 用於stack2的指標 */
/* 鄰接矩陣結構 */
typedef struct
{
int vexs[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;
/* 鄰接表結構****************** */
typedef struct EdgeNode /* 邊表結點 */
{
int adjvex; /* 鄰接點域，儲存該頂點對應的下標 */
int weight; /* 用於儲存權值，對於非網圖可以不需要 */
struct EdgeNode *next; /* 鏈域，指向下一個鄰接點 */
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode /* 頂點表結點 */
{
int in; /* 頂點入度 */
int data; /* 頂點域，儲存頂點資訊 */
EdgeNode *firstedge;/* 邊表頭指標 */
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes, numEdges; /* 圖中當前頂點數和邊數 */
}graphAdjList, *GraphAdjList;
/* **************************** */
void CreateMGraph(MGraph *G)/* 構件圖 */
{
int i, j;
/* printf("請輸入邊數和頂點數:"); */
G->numEdges = 13;
G->numVertexes = 10;
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化圖 */
{
G->vexs[i] = i;
}
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化圖 */
{
for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
{
if (i == j)
G->arc[i][j] = 0;
else
G->arc[i][j] = INFINITY;
}
}
G->arc[0][1] = 3;
G->arc[0][2] = 4;
G->arc[1][3] = 5;
G->arc[1][4] = 6;
G->arc[2][3] = 8;
G->arc[2][5] = 7;
G->arc[3][4] = 3;
G->arc[4][6] = 9;
G->arc[4][7] = 4;
G->arc[5][7] = 6;
G->arc[6][9] = 2;
G->arc[7][8] = 5;
G->arc[8][9] = 3;
}
/* 利用鄰接矩陣構建鄰接表 */
void CreateALGraph(MGraph G, GraphAdjList *GL)
{
int i, j;
EdgeNode *e;
*GL = (GraphAdjList)malloc(sizeof(graphAdjList));
(*GL)->numVertexes = G.numVertexes;
(*GL)->numEdges = G.numEdges;
for (i = 0; i <G.numVertexes; i++) /* 讀入頂點資訊，建立頂點表 */
{
(*GL)->adjList[i].in = 0;
(*GL)->adjList[i].data = G.vexs[i];
(*GL)->adjList[i].firstedge = NULL; /* 將邊表置為空表 */
}
for (i = 0; i<G.numVertexes; i++) /* 建立邊表 */
{
for (j = 0; j<G.numVertexes; j++)
{
if (G.arc[i][j] != 0 && G.arc[i][j]<INFINITY)
{
e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
e->adjvex = j; /* 鄰接序號為j */
e->weight = G.arc[i][j];
e->next = (*GL)->adjList[i].firstedge; /* 將當前頂點上的指向的結點指標賦值給e */
(*GL)->adjList[i].firstedge = e; /* 將當前頂點的指標指向e */
(*GL)->adjList[j].in++;
}
}
}
}
/* 拓撲排序 */
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{ /* 若GL無迴路，則輸出拓撲排序序列並返回1，若有迴路返回0。 */
EdgeNode *e;
int i, k, gettop;
int top = 0; /* 用於棧指標下標 */
int count = 0;/* 用於統計輸出頂點的個數 */
int *stack; /* 建棧將入度為0的頂點入棧 */
stack = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int));
for (i = 0; i<GL->numVertexes; i++)
if (0 == GL->adjList[i].in) /* 將入度為0的頂點入棧 */
stack[++top] = i;
top2 = 0;
etv = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int)); /* 事件最早發生時間陣列 */
for (i = 0; i<GL->numVertexes; i++)
etv[i] = 0; /* 初始化 */
stack2 = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int));/* 初始化拓撲序列棧 */
printf("TopologicalSort:\t");
while (top != 0)
{
gettop = stack[top--];
printf("%d -> ", GL->adjList[gettop].data);
count++; /* 輸出i號頂點，並計數 */
stack2
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解析在下面
解析：
x2-1：這個就是定義，最長的路徑
x2-2：
這個補充一個知識：
一個小補充：
分別用佇列和堆疊作為容器，對計算機專業課程進行拓撲排序，得到的序列有什麼區別？用哪種容器排課更合理？
答案：
根據棧和佇列的特性可以
圖：圖的應用（最小生成樹、拓撲排序、關鍵路徑）
一：求最小生成樹
應用場景：例如要在n個城市之間鋪設光纜，主要目標是要使這 n 個城市的任意兩個之間都可以通訊，但鋪設光纜的費用很高，且各個城市之間鋪設光纜的費用不同，因此另一個目標是要使鋪設光纜的總費用最低。這就需要找到帶權的最小生成樹。
普里姆演算法：
有向圖_拓撲排序_AOE關鍵路徑_判斷圖中是否存在環
目錄
0.圖——判環
0.1.1無向圖判斷是否存在環
0.1.1無向圖，若深度優先遍歷過程中遇到回邊(即指向已訪問過的頂點的邊），則該無向圖必定存在環路。
參考圖的關節點與重連通分量，圖的深度優先生成樹。
定義visi
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#include <stdlib.h>
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{
int i,ThisSum = 0,MaxSum = 0;
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