說明

         雜湊的概念屬於查詢，它不以關鍵字的比較為基本操作，採用直接定址技術。在理想情況下，查詢的期望時間為O(1)。

簡單的說，hash函式就是把任意長的輸入字串變化成固定長的輸出字串的一種函式。輸出字串的長度稱為hash函式的位數。（下圖來源於維基百科）

雜湊函式把訊息或資料壓縮成摘要，使得資料量變小，將資料的格式固定下來，比如我們自定義密碼的儲存。

一句話：雜湊（Hashing）通過雜湊函式將要檢索的項與索引（雜湊，雜湊值）關聯起來，生成一種便於搜尋的資料結構（散列表）。

應用

目前應用最為廣泛的hash函式是SHA-1和MD5，大多是128位和更長。hash函式在現實生活中應用十分廣泛。很多下載網站都提供下載檔案的MD5碼校驗，可以用來判別檔案是否完整，在一些BitTorrent下載中，軟體將通過計算MD5檢驗下載到的檔案片段的完整性，etc.

解釋

雜湊函式的性質：

同一函式的雜湊值不相同，那麼其原始輸入也不相同，上圖中k1，k3和k4。（確定性）

雜湊函式的輸入和輸出不是唯一對應關係的，如果兩個雜湊值相同，兩個輸入值很可能是不相同的，上圖中的k2，k5這種情況稱為“雜湊碰撞”。（不確定性）

所以，安全避免衝突的條件，一是|U|的上限為m，（實際上很難滿足）；二是選擇合適的Hash函式。

Q：衝突是不是可以避免的？

否。根據鴿巢原理可得，雜湊表的重複問題（衝突）是不可避免的，因為鍵的數目總是比索引的數目多，不管是多麼高明的演算法都不可能解決這個問題。就算鍵的數目比索引的數目少，必有一個輸出串對應多個輸入串，衝突還是會發生。

hash函式的構造準則：簡單、均勻

1、  雜湊函式的計算簡單，快速；

2、  雜湊函式能將關鍵字集合K均勻地分佈在地址集{0,1，…，m-1}上，使衝突最小。

hash函式的構造方法：

1、直接定址法：

         取關鍵字或關鍵字的某個線性函式值為雜湊地址：H(key)=key 或 H(key)=a·key+b

其中a和b為常數，這種雜湊函式叫做自身函式。

例：有一個從1歲到100歲的人口數字統計表，其中，年齡作為關鍵字，雜湊函式取關鍵字自身。這樣，若要詢問25歲的人有多少，則只要查表的第25項即可。

         由於直接定址所得地址集合和關鍵字集合的大小相同。因此，對於不同的關鍵字不會發生衝突。但實際中能使用這種雜湊函式的情況很少。

2、  相乘取整法

該方法包括兩個步驟：首先用關鍵字key乘上某個常數A(0<A<1)，並抽取出key.A的小數部分；然後用m乘以該小數後取整。即：
         

該方法最大的優點是m的選取比除餘法要求更低。比如，完全可選擇它是2的整數次冪。雖然該方法對任何A的值都適用，但對某些值效果會更好。Knuth建議選取
             

3、平方取中法

         取關鍵字平方後的中間幾位為雜湊地址。

通過平方擴大差別，另外中間幾位與乘數的每一位相關，由此產生的雜湊地址較為均勻。這是一種較常用的構造雜湊函式的方法。

例：將一組關鍵字(0100，0110，1010，1001，0111)

平方後得(0010000，0012100，1020100，1002001，0012321)

若取表長為1000，則可取中間的三位數作為雜湊地址集：(100，121，201，020，123)。

4、摺疊法

將關鍵字分割成位數相同的幾部分(最後一部分的位數可以不同)，然後取這幾部分的疊加和(捨去進位）作為雜湊地址，這方法稱為摺疊法(folding)。

如國際標準圖書編號0-442-20586-4的雜湊地址分別如

5、除餘法：

取關鍵字被數p除後所得餘數為雜湊地址：H(key)=keyMOD p (p≤m)

這是一種最簡單，也最常用的構造雜湊函式的方法。它不僅可以對關鍵字直接取模(MOD)，也可在折迭、平方取中等運算之後取模。值得注意的是，在使用除留餘數法時，對p的選擇很重要。一般情況下可以選p為質數或不包含小於20的質因素的合數。

6、隨機數法

   選擇一個隨機函式，取關鍵字的隨機函式值為它的雜湊地址，即H(key)=random (key)，其中random為隨機函式。通常，當關鍵字長度不等時採用此法構造雜湊函式較恰當。

處理衝突的方法：

1、開放定址法（不好理解啊）

基本思想：前者是將所有結點均存放在散列表[0..m-1]中。

當衝突發生時，使用某種探查(亦稱探測)技術在散列表中形成一個探查(測)序列。沿此序列逐個單元地查詢，直到找到給定的關鍵字，或者碰到一個開放的地址 (即該地址單元為空)為止（若要插入，在探查到開放的地址，則可將待插入的新結點存人該地址單元）。查詢時探查到開放的地址則表明表中無待查的關鍵字，即查詢失敗。

注意：用開放定址法建立散列表時，建表前須將表中所有單元(更嚴格地說，是指單元中儲存的關鍵字)置空。

怎麼用：

裝填因子：a，a一般取0.5到0.9之間。目的是為了確定合適的表長。

探查序列：

Hi=(H(key)+di)MOD m        i=1，2，…，k (k≤m-1) ，其中：H(key)為雜湊函式；m為雜湊表表長；di為增量序列，可有下列三種取法：

(1)    di=1，2，3，…，m-1，稱線性探測再雜湊；

(2)    di=12，-12，22，-22，33，…，±k2，(k≤m/2)稱二次探測再雜湊；

(3)    di=偽隨機數序列，稱偽隨機探測再雜湊。

例：利用探測法構造散列表：

已知一組關鍵字為(26，36，41，38，44，15，68，12，06，51)，用除餘法構造雜湊函式，用線性探查法解決衝突構造這組關鍵字的散列表。

這裡關鍵字個數n=10，不妨取m=13，此時α≈0.77，散列表為T[0..12]，雜湊函式為：h(key)=key％13。

由除餘法的雜湊函式計算出的上述關鍵字序列的雜湊地址為

(0，10，2，12，5，2，3，12，6，12)。

步驟：

1、前5個關鍵字插入時，其相應的地址均為開放地址，故將它們直接插入T[0]，T[10)，T[2]，T[12]和T[5]中。

2、當插入第6個關鍵字15時，其雜湊地址2(即h(15)=15％13=2)已被關鍵字41(15和41互為同義詞)佔用。故探查h1=(2+1)％13=3，此地址開放，所以將15放入T[3]中。當插入第7個關鍵字68時，其雜湊地址3已被非同義詞15先佔用，故將其插入到T[4]中。
3、當插入第8個關鍵字12時，雜湊地址12已被同義詞38佔用，故探查hl=(12+1)％13=0，而T[0]亦被26佔用，再探查h2=(12+2)％13=1，此地址開放，可將12插入其中。

4、類似地，第9個關鍵字06直接插入T[6]中；而最後一個關鍵字51插人時，因探查的地址12，0，1，…，6均非空，故51插入T[7]中。

參見動畫演示

2、鏈地址法

基本思想：將互為同義詞的結點鏈成一個單鏈表，而將此連結串列的頭指標放在散列表[0..m-1]中。

例：已知一組關鍵字為(19，14，23，01，68，20，84，27，55，11，10，79)，則按雜湊函式H(key)=key MOD13和鏈地址法處理衝突構造所得的雜湊表為：