影象處理基礎(7)：影象的灰度變換（續篇）
阿新 • • 發佈：2018-11-11
灰度變換，屬於一個非常重要的概念。這裡主要參考《Digital Image Processing》 Rafael C. Gonzalez / Richard E. Woods 的第三章。書中所有的實驗與數學式都採用了8-bit 影象的灰度範圍，也就是0到255這樣一個範圍，這是本書不合理的一個地方。首先，這樣做並不泛用，圖片不一定是8-bit的。其次，在做某些變換的時候，可能會導致溢位。比如，伽馬變化，假設伽馬值為2，那麼灰度為255的畫素點，其變換之後值為65025，這裡就溢位了。當然，要是使用Matlab計算，肯定會處理的非常好，直接使用mat2gray函式就能將其壓縮回0到255。但是要是其他嵌入式平臺處理的時候，直接套用不方便不說，直接按照8-bit的圖來理解很不直觀。因此，我將數學式做了改變，讓其輸入為0到1的浮點數，其輸出也是0到1的浮點數，這樣方便理解。
本文所使用的圖片，均來源於《Digital Image Processing》的主頁 http://www.imageprocessingplace.com/
影象反轉
影象反轉，這個翻譯還是很不恰當的。這裡應該理解為負片變換，負片變換如下所示。
負片變換，主要用於觀察過黑的圖片，負片變換之後，方便觀察。很簡單的變換。
對數變換
對數變換主要用於將影象的低灰度值部分擴充套件，將其高灰度值部分壓縮，以達到強調影象低灰度部分的目的。變換方法由下式給出。
這裡的對數變換，底數為
，實際計算的時候，需要用換底公式。其輸入為
，其輸出也為。對於不同的底數，其對應的變換曲線如下圖所示。
底數越大，對低灰度部分的強調就越強，對高灰度部分的壓縮也就越強。相反的，如果想強調高灰度部分，則用反對數函式就可以了。看下面的實驗就可以很直觀的理解，下圖是某影象的二維傅立葉變換影象，其為了使其灰度部分較為明顯，一般都會使用灰度變換處理一下。
實現對數變換的Matlab程式碼如下：
-
close all;
-
clear all;
-
-
%% ————-Log Transformations—————–
-
f = imread(
’DFT_no_log.tif’);
-
f = mat2gray(f,[
0
255]);
-
-
v =
10;
-
g_1 = log2(
1 + v*f)/log2(v+
1);
-
-
v =
30;
-
g_2 = log2(
1 + v*f)/log2(v+
1);
-
-
v =
200;
-
g_3 = log2(
1 + v*f)/log2(v+
1);
-
-
figure();
-
subplot(
1,
2,
1);
-
imshow(f,[
0
1]);
-
xlabel(
’a).Original Image’);
-
subplot(
1,
2,
2);
-
imshow(g_1,[
0
1]);
-
xlabel(
’b).Log Transformations v=10’);
-
-
figure();
-
subplot(
1,
2,
1);
-
imshow(g_2,[
0
1]);
-
xlabel(
’c).Log Transformations v=100’);
-
-
subplot(
1,
2,
2);
-
imshow(g_3,[
0
1]);
-
xlabel(
’d).Log Transformations v=200’);
伽馬變換
伽馬變換主要用於影象的校正，將漂白的圖片或者是過黑的圖片，進行修正。伽馬變換也常常用於顯示屏的校正，這是一個非常常用的變換。其變化所用數學式如下所示，
其輸入為
，其輸出也為。對於不同的伽馬值，其對應的變換曲線如下圖所示。
和對數變換一樣，伽馬變換可以強調影象的某個部分。根據下面兩個實驗，可以看出伽馬變換的作用。 實驗1：
其實現Matlab程式碼為：
-
close all;
-
clear all;
-
-
%% ————-Gamma Transformations—————–
-
f = imread(
’fractured_spine.tif’);
-
f = mat2gray(f,[
0
255]);
-
-
C =
1;
-
Gamma =
0.4;
-
g2 = C*(f.^Gamma);
-
-
figure();
-
subplot(
1,
2,
1);
-
imshow(f,[
0
1]);
-
xlabel(
’a).Original Image’);
-
-
subplot(
1,
2,
2);
-
imshow(g2,[
0
1]);
-
xlabel(
’b).Gamma Transformations \gamma = 0.4’);
灰度拉伸
灰度拉伸也用於強調影象的某個部分，與伽馬變換與對數變換不同的是，灰度拉昇可以改善影象的動態範圍。可以將原來低對比度的影象拉伸為高對比度影象。實現灰度拉昇的方法很多，其中最簡單的一種就是線性拉伸。而這裡介紹的方法稍微複雜一些。灰度拉伸所用數學式如下所示。
同樣的，其輸入為
，其輸出也為。這個式子再熟悉不過了，跟巴特沃斯高通濾波器像極了，其輸入輸出關係也大致能猜到是個什麼形狀的。但是，這裡就出現一個問題了，輸入為0時候，式子無意義了。所以，在用Matlab計算的時候，將其變為如下形式。
這裡的eps，就是Matlab裡面，一個很小數。如此做的話，式子變得有意義了。但是，其輸入範圍為
的時候，其輸出範圍變為了
。輸出範圍大致為，為了精確起見，使用mat2gray函式將其擴充套件到精確的。呼叫格式如下。
g = mat2gray(g,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);
m值的可取影象灰度分佈的中央值，如下式所示，
決定m之後，接下來就只剩E了。灰度拉昇的目的就是擴充套件圖片的動態範圍，我們想將原本灰度範圍是
的影象變換到內。那麼，就直接取最大值與最小值，帶入式子，解出E就可以了。但是，如之前所說的，我們所用的式子的的輸出範圍達不到，而且，直接取的範圍，會造成E非常大，從而變換曲線的斜率非常大，灰度擴充套件的結果並不是很好。所以，這裡退一步，取的輸出範圍是
。E的取值，如下所示。
實驗：
從直方圖看，原圖的灰度範圍確實被拉伸了。用上面所說的方法，確定的灰度拉伸的輸入輸出曲線如下圖所示。
其Matlab程式碼如下：
-
close all;
-
clear all;
-
-
%% ————-Contrast Stretching—————–
-
f = imread(
’washed_out_pollen_image.tif’);
-
%f = imread(
’einstein_orig.tif’);
-
f = mat2gray(f,[0 255]);
-
-
[M,N] = size(f);
-
g = zeros(M,N);
-
-
Min_f = min(min(f));
-
Max_f = max(max(f));
-
m = (Min_f + Max_f)/2;
-
-
Out_put_min = 0.05;
-
Out_put_max = 0.95;
-
-
E_1 =
log(1/Out_put_min - 1)/
log(m/(Min_f+eps));
-
E_2 =
log(1/Out_put_max - 1)/
log(m/(Max_f+eps));
-
E = ceil(min(E_1,E_2)-1);
-
-
g = 1 ./(1 + (m ./ (f+ eps)).^E);
-
g = mat2gray(g,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);
-
-
figure();
-
subplot(2,2,1);
-
imshow(f,[0 1]);
-
xlabel(
’a).Original Image’);
-
-
subplot(2,2,2);
-
r = imhist(f)/(M*N);
-
bar(0:1/255:1,r);
-
axis([0 1 0 max(r)]);
-
xlabel(
’b).The Histogram of a’);
-
ylabel(
’Number of pixels’);
-
-
subplot(2,2,3);
-
imshow(g,[0 1]);
-
xlabel(
’c).Results of Contrast stretching’);
-
-
subplot(2,2,4);
-
s = imhist(g)/(M*N);
-
bar(0:1/255:1,s);
-
axis([0 1 0 max(s)]);
-
xlabel(
’b).The Histogram of a’);
-
ylabel(
’Number of pixels’);
-
-
in_put = 0:1/255:1;
-
Out_put1 = 1 ./(1 + (m ./ (double(in_put)+ eps)).^E);
-
Out_put1 = mat2gray(Out_put1,[1/(1+(m/eps)^E) 1/(1+(m/1+eps)^E)]);
-
-
figure();
-
plot(in_put,Out_put1);
-
axis([0,1,0,1]),grid;
-
axis square;
-
xlabel(
’Input intensity level’);
-
ylabel(
’Onput intensity level’);
灰度切割
灰度切割也是一個很簡單，但也很實用的變換。灰度切割，主要用於強調影象的某一部份，將這個部分賦為一個較高的灰度值，其變換對應關係如下所示。
灰度切割有以上兩種方法，一種是特定灰度值的部分賦值為一個較高的灰度值，其餘部分為一個較低的灰度值。這樣的方法，得到的結果是一個二值化影象。另外一種方法，則是僅僅強調部分賦值為一個較高的灰度值，其餘的部分不變。 實驗：
點陣圖切割
點陣圖切割，就是按照影象的位，將影象分層處理。若影象的某個畫素，其bit7為1，則在位面7這個畫素值為1，反之則為0。實驗：
由點陣圖切割的結果，影象的主要資訊包含在了高4位。僅僅靠高4位，還原的影象更原圖基本差不多。由此可見，點陣圖切割主要用於影象壓縮。