本文將繼續探討，座標旋轉變換，不同之處，上兩篇各用三次，兩次旋轉變換，這一篇要用一次旋轉變換。

如下圖：

如圖，還是任意的平面方程，o2-xy面，在該平面上，如棕色和草綠色箭頭所示，我們的目標是，經過一次選擇，達到我們的o2-x‘’y‘’z‘’與o2-xyz重合的目的（也就是，棕色軸與紅色軸重合，草綠色與綠色軸重合，淡藍色與藍色軸重合）。我們以o2為球心做半徑為1的球，知道z軸與z‘’軸都會與球相交，並且分別的正向中軸射線也會交與球面。它們分別的在球面上的射影是兩段弧線，它們之間有一個夾角，如圖中黃色小球就是他們的交點，以及他們夾角θ1的原點。

青色的線就是這個角原點與o2點的連線，我們容易知道，該青色的線與該夾角垂直。我們再作，過o2點與兩條正向中軸射線的垂線，就是我們圖中的第二條青色的線。我們也知道，該青線，與剛才的青線是相互垂直的。並且，第二條青線與兩正向中軸射線夾角θ2是垂直的，好。到這裡，我們想辦法，將兩條青線的旋轉合併為一個等效的任意軸的旋轉，這樣我們就達到了，一次旋轉重合座標軸的目的。

作為準備，我們要得出這個等效軸的位置，與夾角θ。

我們把第一條暫時設為“x”軸，第二條設為“y”軸，當然這個是為了討論準備的公式方便，設什麼字母是無所謂的。我們都是討論右手座標系。

假設我們繞“x”軸旋轉θ1，繞“y”軸旋轉θ2，由上兩篇的備用公式：如下

進而得到：

我們假設有一個任意軸旋轉效果與上面兩次旋轉效果相同，假設這個任意軸，位於“x”，“y”所在的右手空間座標系內，

有

由於剛才的假設兩種選擇效果一樣，則

有：

化簡得到：

所以我們可以知道這個等效軸的位置，與夾角，而上面已經幾何做出了”x“，”y“的青線，加上右手座標系的限制，我們可以確定該軸的位置與需要旋轉的夾角。

由於

所以為該軸與“x”（第一條青線）夾角餘弦，為該軸與“y”（第二條青線）夾角餘弦，以此類推。

以上說的正向中軸射線，指的是與座標軸夾角餘弦都為的那條射線。

到這裡，關於平面方程與座標旋轉的故事講完了。謝謝大家的陪伴。