Gelfond 的恆等式

$$ \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a \\ a + b + 4c\\ a + 2b + c\\ a + 4b + 9c\\ a + 5b + 6c\\ a + 6b + 10c \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ y_3\\ y_4\\ y_5\\ y_6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a + b \\ a + c\\ a + 2b + 6c\\ a + 4b + 4c\\ a + 5b + 10c\\ a + 6b + 9c \end{array} \right) $$

那麼對於 n = 1, 2, 3, 4, 5。

$$ x_1^n + \dots + x_6^n = y_1^n + \dots + y_6^n $$

I. M. Gelfand 自述

李錕 譯

\textbf{編者按：}原文標題“A talk with I. M. Gelfand: A student and teacher followed his own interests and instincts”, 發表於Quantum, (Jan-Feb 1989), 原文連結\url{http://israelmgelfand.com/talks/quantum_interview.pdf}.中譯文原載於《數學譯林》1990年第4期，李錕譯， pp. 340--347. 這裡編者重新錄入時作了簡單的文字整理。

Gelfand (見維基百科詞條\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Israel_Gelfand}) 1913-2006，20世紀最偉大的數學家之一。據說，在20世紀的俄國，最傑出的數學家有3位，分別是Kolmogorov，Gelfand 和 Shafarevich（前不久去世）。Kolmogorov的工作廣，Shafarevich的工作深，而唯有Gelfand，工作既深且廣。

Gelfand（蓋爾範德）照片取自《當代大數學家畫傳》，由Mariana Cook 提供

《敗者為王》(The Loser Takes All)是英國作家格雷厄姆·格林(GrahamGreene)的一本小說。我的數學生涯是如此的幸運，以至於我多年來的生平可以視為這部小說的一個現實版本。那麼，我的好運是什麼呢？簡單地說就是：第一，我沒有上過大學；第二，由於我的家庭生活困難，以至於當我16歲半到達莫斯科時，既無雙親陪伴，也無工作。

我想借助另一個英國作家威廉·薩默塞特·毛姆(William Somerset Maugham)的短篇小說（注：這裡指的是《教堂堂守》或《教堂司事》（The Verger），見《毛姆短篇小說集》pp. 311-320中葉念先的譯文，北京，外國文學出版社，1983年。）來解釋敗者為王的含義。小說的主角是某個教堂的僕役，在鑑定教堂神職人員時發現他是文盲，所以他被解僱了。他開始成為賣煙的小販，後來買下了煙鋪，再後來又買下了另一些鋪子……商業上飛黃騰達，他成為全城最富有的人和該城的市長。記者採訪了他——正如你們今天採訪我一樣——他解釋說，他是文盲，記者不禁驚呼：“您要是會識字的話，那該取得多大的成就啊！”市長的回答非常乾脆：“那樣的話，我可能還是教堂的僕役。”

1930年2月，當我16歲半時，來到莫斯科投靠遠親，經常失業，任何臨時性工作都幹，而大部分時間我呆在列寧圖書館，“惡補”那些在中學和未結業的職業技術學校裡沒有學到的知識。在圖書館，我結識了一些大學生，並開始去大學聽課。18歲時我已經開始教課，19歲考上研究生，此後的數學經歷則平常而正規，進入了數學家通常的軌道。

我並不打算把生活中的這一段經歷告訴《量子》的讀者，我想談的是更早期的經歷，即13歲至16歲時我是怎樣學習數學的。我想介紹這方面的內容有兩個原因。第一，我堅信，對大多數未來的職業數學家來說，數學的天才正好出現在13歲至16歲這一時期（當然在最強的數學家中也有例外，從20歲至30歲甚至40歲不等）。第二，我在這一時期形成了研究數學的風格。不言而喻，研究的物件是經常變化著的，但是在這個時期形成的數學的藝術形象卻是我選擇研究題目的品味的基礎，對這些題目我至今仍感興趣。我覺得，不瞭解這個動機，就不可能弄清楚我的研究風格和選擇數學研究作為職業的理由。

我記得的第一件事發生在12歲左右，那時我已明白，有些幾何題目是不能用代數方法求解的。每隔5度我求出弦長與弧長之比，製成了表格。很久以後我才明白存在著三角（非代數的）函式，實際上我是製作了三角函式表。

大約在那時，我做完了一本初等代數的習題集。我既沒有相匹配的代數課本，也不知道相應的理論，有時只能用我當時還叫不出名字的公式去求解相當複雜的問題。如果我不會解某一個題，我會先看一下答案，儘量按照問題的提法和答案反推它們的解法。特別的，那時我已明白，並且一生都牢牢記住，通過解題可以掌握新的領域，實際上光看答案並不可恥，因為我們在解題時總是假設可能的答案。一般說來，研究數學問題與解題有類似之處，解題時我們總是知道答案的某些方面。這也是數學研究工作與大學入學考試的數學訓練（這當然有必要）的差別所在。

在12到13歲時，我注意到某些幾何問題。例如，有一些直角三角形，其邊長是3,4,5，甚至是5,12,13。我想求出邊長為整數的全部直角三角形，結果得到了這類三角形的邊長的一般公式，也就是說我求得了勾股組（當然，那時我並不知道這一術語）。遺憾的是，現在我已記不清當時是怎樣得出這個公式的了。

在生病和假期時，我常學習數學。我注意到，有些能力強的學生生病在家時能完成很多事。因此，我常常讓我的兒子病癒後在家多住幾天。

我們所用的幾何課本中，有些定理是以習題的形式給出的。我得到了練習本（這在那個年代也是難得的），在每一頁都寫上了定理的陳述。一個假期過去，筆記本上幾乎寫滿了這些定理的證明。這就是我怎樣學會寫數學著作的。

這裡我將跳過一段。那時候我只注意到了Dovydov 的代數書，書中非常聰明地用初等方法（即不用微積分）求解最大值和最小值問題。例如，已知正數$a$與$b$的和為定值，求其乘積$ab$的最大值；給定矩形的周長，求其面積的最大值；給定一個正方形，若從正方形的四個角切除四個小正方形，並將其餘部分做成盒子，問應該切除多大尺寸的小正方形，才能使得盒子的體積為最大？

牛頓二項式定理和組合分析公式給我很深的印象，我曾長時間思考這些問題。

我曾經在小城市生活，那裡只有一所中學。數學老師Titarenko長有哥薩克式的鬍子，很善良，但表面上看起來較嚴厲。雖然我比他知道得更多——這點他也清楚，但是我還未遇到比他更好的老師。他很喜歡我，並且經常鼓勵我。對於教師來說，最主要的一點就是要善於鼓勵學生，不是嗎？

數學書匱乏是很一個嚴重的問題。我經常看見高等數學書的廣告，猜測高等數學大概是非常有趣的。可惜，我的父母窮，不大可能給我買這些書。我很幸運，在15歲那年，我得了闌尾炎，需要去敖德薩做手術。我跟父母說，要是不給我買高等數學書，我就不去醫院。父母終於同意了，給我買了烏克蘭文的Belyayev 的《高等數學教程》，但他們的錢只夠買第一卷，其內容包括微分學和平面解析幾何。

我沒有從一本成熟的大學教程開始學習高等數學，這是很幸運的。這是一本比較基本的書。從Belyayev 教程的引言，即可判斷此書的水平。在引言中，作者提到，函式一共有三種形式：用公式表示的解析函式、用表格表示的經驗函式、以及相關函式。什麼是相關函式，我當時並不明白，只是在許多年以後，我才從學概率論的大學生那裡知道它的含義。

手術後第3天我就開始看這本書，穿插著還讀了埃米爾·左拉（Emile Zola）的小說，一共看了9天（那時，在這種手術後，需要住院12天）。在此期間，我看完了這本書。

從這本書我領會到兩個非同尋常的思想。

第一，平面與空間的任何幾何問題都可以用代數公式表示（我以前就猜到了這一點），我也認識到存在著某些相當漂亮的圖形，如橢圓。

第二，存在著計算正弦的公式：
\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]
這使我的觀念發生了轉折。以前我認為，存在兩種不同風格的數學——代數與幾何。與代數相比，我覺得幾何在原則上是“超越的”。例如，圓的周長公式中含有“幾何”數$\pi$（圓周率），或者說，正弦是完全用幾何方法確定的。

當我發現正弦可以用代數的級數形式表示時，頭腦中的代數與幾何之間的鴻溝消失了，數學成為統一的數學。時至今日，我已認同這樣的觀點，數學的各個部分與數學物理是統一的整體。

當然，我從這本書也確信了，極值問題可以自動解答，雖然它們正在失去本身的魅力，但在你們手中卻有解決此類問題的得力工具（微積分）。

學微分學時，我已知道還有積分學，它與面積和體積有關。但我無法知道它的具體內容，因為我還未得到Belyayev教程的第二卷！

我想再回憶一個習題。當我們第二年秋季在學校學習旋轉體的體積時，我的同班同學，也就是後來的著名數學家D. P. Milman，提請我注意到下面的題目：當圓周圍繞自身的某條切線旋轉時，求旋轉所形成的旋轉體的體積。為了求解，我將圓劃分為條帶，並計算相應圓柱體的體積之和。為此，我必須求出
\[\cos\varphi+\cos2\varphi+\cos3\varphi+\cdots+\cos n\varphi .\tag{1}\]
與通常一樣，剩下的步驟是機敏與愚蠢的混合產物。我忽略了用普通三角方法的初等解法（高中生肯定知道的），卻應用了公式
\[e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi.\]
（這個公式被稱為尤拉公式，但當時我並不知道。）在那時，我需要用到深深震撼了我的正弦、餘弦以及指數函式的級數表示式，才能求得上述公式。接下來，利用等比數列的求和公式就可算出
\[e^{i\varphi}+e^{i2\varphi}+e^{i3\varphi}+\cdots+e^{in\varphi}\]
對所得等式兩邊再取實部，從而求得(1)式的值。

解此題時，我培養了解題後繼續思考問題的習慣。我將圓周移開，離開直線一段距離，旋轉之後得到的旋轉體，使我想到了輪胎。若已知圓的半徑$r$以及圓心到直線的距離$d$，可用上述方法，可以確定出旋轉體的體積為$2\pi^2r^2d$.這個公式的簡單明瞭，使我非常驚訝，如果將它寫成$\pi r^2\cdot 2\pi d$,就可看清它的含義，將輪胎沿圓周切開並將它展開成一個圓柱，它的高恰好等於圓心軌跡的長度，也就是$2\pi d$，而這個圓柱的體積與旋轉體的體積相等。對錶面積的情況也類似，我覺得這種現象並非偶然。如果將圓用另一圖形如三角形來代替，那麼會發生什麼情況呢？

這時的旋轉體體積將與一個稜柱的體積相等，該稜柱的底為所給的三角形，高為三角形三條中線的交點的軌跡的長度。由物理學可以知道，此點就是三角形的重心。若再回看圓周旋轉時的情況，即可明白，圓心就是圓的重心。（注：這些結果蘊含在一個稱為帕普斯定理（或古爾丁定理）的一般結果中，見維基百科：\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Pappus%27s_centroid_theorem}）

在由不知從哪裡得到的材料力學教科書中,我找到了重心的一般定義。書中不僅旋轉了各種圖形，還將圖形沿各種曲線移動，並計算出所得幾何體的體積和麵積。這時討論的嚴格性是非常重要的，我非常引以為驕傲的是，我能求得半球和半圓的重心。

幸運再次光顧了我。我們城裡來了一位學識淵博的人（按照我當時的觀點），他畢業於敖德薩師範學院數學物理系。他帶來的書中有Kagan的《行列式理論》和Hvolson的《物理學教程》，前一本書富有教益，內容詳盡，甚至有關於無窮行列式的章節。

我應指出, Filippenko——他是著名的N. K. Koltslov學派的生物學家——的生物課本，是一本極好的課本，它甚至使我在15--20年之後有興趣研究生物學。

再回到數學問題,我仍然對與面積和體積有關的問題感興趣，我著手計算拋物線$y=x^2$下方的面積，此時需要計算
\[1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2,\]
我毫無困難地解決了上述問題。

我進而想求出$p$次拋物線$y=x^p$下方的面積,其中$p=3,4,5,\cdots$,從而需要求和
\[S_0=1^p+2^p+3^p+\cdots+n^p,\]
其中$p$為任意的自然數.

與公式
\[1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
類似,我求得$S_0$是$n$的$p+1$次多項式。事實上，為求得$p$次拋物線下方的面積，只需要知道多項式$S_0(n)$的最高次項的係數就足夠了，可是我當時尚未覺察到這一點，從而開始求整個多項式。這項研究很有意義。首先讓我來概括上述問題：設$f(x)=x^p$,則$S_0$可以表達為：
\[S_0=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(n).\]

假設$F(x)$的導數$F'(x)=f(x)$,則由泰勒公式可得：
\begin{align*}
F(2)-F(1)&=f(1)+\frac{f'(1)}{2!}+\frac{f''(1)}{3!}+\cdots\\
F(2)-F(1)&=f(1)+\frac{f'(1)}{2!}+\frac{f''(1)}{3!}+\cdots\\
&\ \ \vdots\\
F(n+1)-F(n)&=f(n)+\frac{f'(n)}{2!}+\frac{f''(n)}{3!}+\cdots
\end{align*}
將上述等式相加可以得到：
\[F(n+1)-F(1)=S_0+\frac{S_1}{2!}+\frac{S_2}{3!}+\cdots\]
其中$S_0$是我感興趣的和，而
\begin{align*}
S_1 &=f'(1)+f'(2)+\cdots +f'(n),\\
S_2 &=f''(1)+f''(2)+\cdots +f''(n),\\
&\ \ \vdots
\end{align*}
這時得到方程組
\begin{alignat*}{3}
F(n+1)-F(1)&=S_0+&\frac{S_1}{2!}+&\frac{S_2}{3!}+\cdots,\\
f(n+1)-f(1)&=&S_1+&\frac{S_2}{2!}+\frac{S_3}{3!}+\cdots,\\
f'(n+1)-f'(1)&=& &S_2+\frac{S_3}{2!}+\frac{S_4}{3!}+\cdots,\\
&\ \ \vdots& &
\end{alignat*}
即得到了含有無窮多個未知數$S_0,S_1,S_2,\cdots$的方程組，我曾提及，在Kagan的書中敘述了無窮階行列式的理論，所以我能應用“克萊姆法則”，以求得$S_0$為：
\[
S_0=\det \left[ \begin{matrix}
F\left( n+1 \right) -F\left( 1 \right)& \frac{1}{2!}& \frac{1}{3!}& \frac{1}{4!}& \cdots\\
f\left( n+1 \right) -f\left( 1 \right)& 1& \frac{1}{2!}& \frac{1}{3!}& \ddots\\
f'\left( n+1 \right) -f'\left( 1 \right)& 0& 1& \frac{1}{2!}& \ddots\\
\vdots& \vdots& \ddots& \ddots& \ddots\\
\vdots& 0& \cdots& 0& 1\\
\end{matrix} \right],
\]
將這個行列式按照第一列展開，就得到下式：
\begin{align*}
\begin{split}
S_0=&B_0\left[ F\left( n+1 \right) -F\left( 1 \right) \right] +B_1\left[ f\left( n+1 \right) -f\left( 1 \right) \right] \\
&+B_2\left[ f'\left( n+1 \right) -f'\left( 1 \right) \right]+\cdots
\end{split}
\tag{2}
\end{align*}
其中$B_0=1$, $B_1,B_2,B_3,\ldots$是一些無窮行列式。所得的表示式(2)稱為Euler-Maclaurin公式，那時我並不知道這一公式。若要用此式做計算，必須求得係數$B_1,B_2,\ldots$

為此，我運用了想象，即今天稱為“函子”的辦法，也就是，考慮到係數$B_0,B_1,B_2,\cdots$與$f$無關，可以選擇函式$f$使得等式(2)的左端轉換成幾何級數(我能求出它們的和)。選取函式$f(x)=e^{\alpha (x_1)}$,代入(2)式，即可得到（請完成計算！\footnote{計算如下：將(2)式應用於函式$f(x)=e^{\alpha (x-1)}$,則我們得到
\[1+e^{\alpha}+\cdots +e^{\left( n-1 \right) \alpha}=S_0=B_0\frac{1}{\alpha}\left( e^{n\alpha}-1 \right) +B_1\left( e^{n\alpha}-1 \right) +B_2\left( \alpha e^{n\alpha}-1 \right) +B_3\left( \alpha ^2e^{n\alpha}-1 \right) +\cdots\]
不妨設$\alpha<0$,在上式中令$n\to\infty$,則我們得到
\[\frac{1}{1-e^\alpha}=-B_0\frac{1}{\alpha}-B_1-B_2\alpha-B_3\alpha ^2-\cdots\]
重新整理就是Gelfand提到的式子。}）
\[B_0+B_1\alpha+B_2\alpha^2+B_3\alpha^3+\cdots=\frac{\alpha}{e^\alpha-1}.\]
也就是說，得到了所求係數$B_0,B_1,B_2,\cdots$的母函式（$B_0,B_1,B_2,\cdots$稱為Bernoulli數，而關於$f(x)=x^p$的$S_0$稱為Bernoulli多項式）。

我還記得這一時期考慮過的其他兩個問題。我們的代數習題集產生了第一個問題：用二次方程的係數表示兩根$x_1$和$x_2$的函式，如$x_1^2+x_2^2$和$x_1^3+x_2^3$.問題可以進一步概括為：用$n$次方程$x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$的係數表示根$x_1,\ldots,x_n$的函式$x_1^2+\cdots+x_n^2$和$x_1^3+\cdots+x_n^3$.在Davydov的書中我得知了韋達定理，藉助於這一定理可以解答上述問題。我再進一步設想了更為一般的問題：用$n$次代數方程的係數表示此方程的根的$k$次冪之和。我求得了這一問題的解（問題的答案稱為牛頓公式）。

我那時考慮的第二個問題是，我發現，$\cos (ix)$為實數，因為
\[\cos (ix)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\]
我思考了這個出人意料的事實並提出了下述一般定理：任何偶的實值函式（在複平面的延拓函式）在虛軸上取實數值。

為了證明這一定理，必須搞清楚，什麼是“函式”。我思索著函式的含義，並且給出瞭如下定義：函式是收斂的無窮冪級數的和。這樣，很容易就證明了上述定理。

在我來到莫斯科以前，這大概就是我所思考的最後一個問題了。1920年夏天我解答了這一問題，之後的半年對我和我的家庭都是艱苦的，我未從事數學研究。

我在莫斯科學習數學的第二階段不再是這種“瞎摸瞎碰”了。在莫斯科，我受到許多完全不同風格的影響，我的發展也不再任自漂流了。正如我之前提到的，這時我開始在列寧圖書館自學，靠打零工維持生計。有一陣我就在圖書館的服務檯坐班。我結識了大學裡的數學系學生。有人告訴我，我很感興趣的表示式 $f(n+1)-f(n)$是一個稱為有限差分的系統理論的一部分。他告訴我應該閱讀 Norlund 的《差分演算》。這是一本德文書，不過我在字典的幫助下掌握了它。

我開始參加大學的研討班，在那裡我發現自己壓力很大。我做數學的方式不合適宜。當時，數學界掀起了一股風氣：對嚴謹的證明的要求、對實變函式論的濃厚興趣。（今天看來，這種嚴格性和這個特殊理論已陳腐過時，但在那時……）

直到那時，我才認識到，很重要的是：函式未必是連續的，連續的函式未必是可微分的，一階可微分的函式未必是二階可微分的，如此等等；甚至一個無窮次可微分的函式，其 Taylor 級數也未必是收斂的；即便收斂，也未必收斂到函式本身。如果函式的 Taylor 級數剛巧收斂到它本身，這個函式就稱為解析的。（實變函式論愛好者認為）這類函式是如此狹窄，以至於它被排除在主流數學之外。而在此之前，我就只見過這類函式。

在這種觀點的影響下，我讀了 Vallee Poussin 的“現代化的、嚴格化的”分析教材。它類似於目前莫斯科大學數學力學系用的教材，但更好一些。因此我很同情那些大一學生，他們只有在歷經長達一年的強調“嚴格基礎”的痛苦考驗之後，才能體會到數學分析的美妙。

即便如此，我也是幸運的，我讀了 I. I. Privalov 關於單複變函式的卓越教材。讀這本書時，我理解了，為什麼函式$1/\left(1+x^2\right)$的 Taylor 級數在$x=1$發散，雖然它的影象是連續的。（這根源於下述事實：它所對應的複函式$1/\left(1+z^2\right)$在$z=i$有一個奇點。）
讀完前100頁，我感到一陣清風拂過。我發現，如果一個複變函式有一階導數，那麼就自動有任意階的導數，並且其 Taylor 級數在某個區域內收斂到函式本身。每樣東西都找到了自己的位置，又恢復了和諧。

我很快讀完了 Hurwitz 和 Courant 關於複變函式論的書。我印象最深的,是關於橢圓函式的那些章節。然而時尚再一次捉弄了我——即便在那時，這個數學分支也被認為是老古董。橢圓函式論被貶低為“不過是三角函式的推廣”。多年以後，這個領域才再次成為數學家關注的焦點。

我從大學的研討班獲益很多。我遇到各式各樣的數學家，我可以拿我的浪漫、過時的觀點，與時下流行的觀點作比較。我跟著許多傑出的數學家學習，並且以這種方式持續學習至今。

後來我讀了——其實是深入研究——Courant 和 Hilbert 合著的《數學物理方法》。那時我認識到，閱讀基本工作非常必要。重要的是，要捨得花時間思考一個理論的真正基礎。Hermann Weyl 1925年關於典型群表示的工作，就屬於這一範疇。但很可惜，我們無法接觸到Cayley, Schur 和“Hilbert 時期”之前的其他作者的更經典的基礎性工作。

我從Schnirelman, Lavrentiev, Lusternik, Plesner, Petrovsky 那裡學到很多，從 Andrey Nikolaevich Kolmogorov 學到的就更多了。特別地，我從 Kolmogorov 那裡學到，一個真正的數學家必須是一個物理學家。

此後，我的故事就切換成標準的學術傳記。然而，這種東西通常是非常容易令人引起誤解的。一部真正的學術傳記，只是科學家工作的彙集。一個人對自己的工作的印象，並不比其他任何讀者對它的印象重要。因此，我就此結束我的故事。