自然數簡化到素數：黎曼猜想RiemannHypothesis及其解釋(公號回覆“黎曼猜想”下載PDF經典收藏版彩標資料)

原創： 秦隴紀 資料簡化DataSimp 今天

資料簡化DataSimp導讀：科學大院《黎曼猜想Riemann Hypothesis簡介》來自黃逸文(中國科學院數學與系統科學研究院)，介紹了黎曼猜想RiemannHypothesis大概。知乎譯文《黎曼猜想RiemannHypothesis及其解釋(上下)》來自Jørgen Veisdal 2013年本科畢業論文，介紹自然數抽象到素數涉及的各種數學理論。兩篇巨集觀、具體風格不同的中外文章，基本上把自然數簡化到素數：黎曼猜想RiemannHypothesis及其解釋說清楚了。

自然數Natural number用以計量事物的件數或表示事物次序，即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的集體。自然數有有序性，無限性。分為偶數和奇數，合數和質數等。質數prime number又稱素數，有無限個。按因數個數分，自然數可分為質數、合數、1和0。

1、質數：只有1和它本身這兩個因數的自然數叫做質數。也稱作素數。

2、合數：除了1和它本身還有其它的因數的自然數叫做合數。

3、1：只有1個因數。它既不是質數也不是合數。

4、當然0不能計算因數，和1一樣，也不是質數也不是合數。

備註：這裡是因數不是約數。

也就是說，自然數裡面合數都由素數構成，且可被因數分解為一些素數的乘積。簡單說，黎曼猜想Riemann Hypothesis是尋找素數(質數)規律的一種假設性猜想。

 

A自然數簡化到素數：黎曼猜想RiemannHypothesis及其解釋(7764字)

黎曼猜想Riemann Hypothesis簡介

文|黃逸文，中國數學會，資料簡化DataSimp20180921Fri

1900年，大數學家希爾伯特(Hilbert)在巴黎舉辦的第二屆國際數學家大會上提出了23個數學問題，它為整個二十世紀的數學發展指明瞭方向。時過境遷，值千禧年之際，美國克雷研究所提出了7個世紀性的數學難題，並慷慨地為每個問題設定了100萬美元的獎金。

圖2 德國著名數學家希爾伯特(David Hilbert，1862～1943)

當我們回顧這次跨越時空的呼應時，卻發現有一個共同的問題，並且已經伴隨著數學家們走過了滄桑百年的歷程，它就是大名鼎鼎的黎曼猜想。

黎曼猜想究竟有何神奇之處，竟讓如此多的數學家為此痴迷和魂牽夢繞？在它那裡，又藏著怎樣驚世駭俗的祕密？破譯這樣一個難題，真的會給數學和世界帶來激動人心的改變嗎？

質數探索

在自然數序列中，質數就是那些只能被1和自身整除的整數，比如2，3，5，7，11等等都是質數。4，6，8，9等等都不是質數。由於每個自然數都可以唯一地分解成有限個質數的乘積，因此在某種程度上，質數構成了自然數體系的基石，就好比原子是物質世界的基礎一樣。

人們對質數的興趣可以追溯到古希臘時期，彼時歐幾里得用反證法證明了自然數中存在著無窮多個質數，但是對質數的分佈規律卻毫無頭緒。隨著研究的深入，人們愈發對行蹤詭異的質數感到費解。這些特立獨行的質數，在自然數的汪洋大海里不時拋頭露面後，給千辛萬苦抵達這裡的人們留下驚歎後，又再次揚長而去。

1737年，瑞士的天才數學家尤拉(Euler)發表了尤拉乘積公式。在這個公式中，如鬼魅隨性的質數不再肆意妄為，終於向人們展示出了其循規蹈矩的一面。

沿著尤拉開闢的這一戰場，數學王子高斯(Gauss)和另一位數學大師勒讓德(Legendre)深入研究了質數的分佈規律，終於各自獨立提出了石破天驚的質數定理。這一定理給出了質數在整個自然數中的大致分佈概率，且和實際計算符合度很高。在和人們玩捉迷藏遊戲兩千多年後，質數終於露出了其漂亮的狐狸尾巴。

橫空出世

雖然符合人們的期待，質數定理所預測的分佈規律和實際情況仍然有偏差，且偏差情況時大時小，這一現象引起了黎曼的注意。

其時，年僅33歲的黎曼(Riemann)當選為德國柏林科學院通訊院士。出於對柏林科學院所授予的崇高榮譽的回報，同時為了表達自己的感激之情，他將一篇論文獻給了柏林科學院，論文的題目就是《論小於已知數的質數的個數》。在這篇文章裡，黎曼闡述了質數的精確分佈規律。

沒有人能預料到，這篇短短8頁的論文，蘊含著一代數學大師高屋建瓴的視野和智慧，以至今日，人們仍然為隱匿在其中的奧祕而苦苦思索。

黎曼Zeta函式

黎曼在文章裡定義了一個函式，它被後世稱為黎曼Zeta函式，Zeta函式是關於s的函式，其具體的定義就是自然數n的負s次方，對n從1到無窮求和。因此，黎曼Zeta函式就是一個無窮級數的求和。然而，遺憾的是，當且僅當複數s的實部大於1時，這個無窮級數的求和才能收斂(收斂在這裡指級數的加和總數小於無窮)。

為了研究Zeta函式的性質，黎曼通過圍道積分的方式對該函式做了一個解析延拓，將s存在的空間拓展為複數平面。

研究函式的重要性質之一就是對其零點有深刻的認識。零點就是那些使得函式的取值為零的數值集合。比如一元二次方程一般有兩個零點，並且有相應的求根公式給出零點的具體表達式。

黎曼對解析延拓後的Zeta函式證明了其具有兩類零點。其中一類是某個三角sin函式的週期零點，這被稱為平凡零點；另一類是Zeta函式自身的零點，被稱為非平凡零點。針對非平凡零點，黎曼提出了三個命題。

第一個命題，黎曼指出了非平凡零點的個數，且十分肯定其分佈在實部大於0但是小於1的帶狀區域上。

第二個命題，黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位於實部等於1/2的直線上。

第三個命題，黎曼用十分謹慎的語氣寫到：很可能所有非平凡零點都全部位於實部等於1/2的直線上。這條線，從此被稱為臨界線。而最後這個命題，就是讓後世數學家如痴如醉且寢食難安的黎曼猜想。

有人曾經問希爾伯特，如果500年後能重回人間，他最希望瞭解的事情是什麼？希爾伯特回答說：我想知道，黎曼猜想解決了沒有。美國數學家蒙哥馬利(Montgomery)曾經也表示，如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明，多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。黎曼猜想，儼然就是真理的宇宙裡，數學家心目中那顆最璀璨的明星。

黎曼的三個命題

短短八頁的論文裡，黎曼給後人留下了卓絕非凡的智慧和思想，也為後世留下了魅力無窮的謎團。文章裡的證明因為篇幅限制而多被省略，吝惜筆墨的黎曼卻讓身後數百年的數學大家費盡心思、相形見絀。這篇格局巨集大、視野開闊的論文站在了時代的最前沿，其高瞻遠矚的目光和魄力直到今日仍然指引著主流數學界的方向。

在第一個命題的某一步證明裡，黎曼用輕鬆的語氣寫道：這是不言而喻的普適性的結果。但就是這樣一個似乎不值一提的結果，卻花費了後人40年的時間苦苦探索。芬蘭數學家梅林因為在這一小步上的貢獻而名垂青史。此後，在黎曼眼中一筆帶過的第一命題最終才由德國數學家蒙戈爾特(Mangoldt)在46年後給出完整的證明。

針對第二命題，黎曼用了相當肯定的語氣指出其正確性。遺憾的是，他沒有給出任何證明的線索，只是在與朋友的一封通訊裡提及：命題的證明還沒有簡化到可以發表的程度。然而黎曼畢竟高估了讀者的能力，第二個命題猶如一座巍峨的大山壓在了後世數學家的心中，直到今天也踹不過氣來。一個半世紀過去了，人們還在為尋找第二命題的證明而陷入深思，似乎絲毫找不到破解它的希望。

更讓人們絕望的是，黎曼在論及第三命題時，破天荒地沒有使用肯定的語氣，而是謹慎地說道：這很有可能是正確的結論。作為複變函式功彪千古的大師，黎曼此時也失去了信心，只能藉助試探的口吻表達自己的觀點。也正是這個讓黎曼猶豫而止步的命題，終成了數學史上最為壯美險峻的奇峰。

有人曾經質疑黎曼是否真的證明了第一和第二命題，他隨意寫下的結論僅僅是重複法國數學家費馬(Fermat)曾經的覆轍：把錯誤的想法當成了真理。

1637年，愛好數學的大法官費馬在一本書的頁邊寫下了他對一個問題的看法：他發現了一個簡潔的證明，但是由於紙張太小無法寫下來。這就是被後世稱為費馬猜想的問題，其完整的證明直到358年後的1995年才由英國數學家懷爾斯藉助最艱深的現代工具所完成。

但是，人們很快打消了疑慮。從黎曼遺留下來的部分草稿來看，他的數學思想和功力已經遠遠超越同時代的數學家。即使是幾十年後被陸續發現的手稿中體現出來的能力水平，也讓當時的數學家難以望其項背。因此，人們有理由相信，這是一個偉大數學家的自信和坦然。

儘管黎曼猜想成立與否不得而知，數學家們還是傾向於它的正確性。一個半世紀以來，人們在假設黎曼猜想成立的情況下，以它作為基石，已經建立了一千多條定理，並且打造了無比輝煌的數論大廈。然而一旦黎曼猜想找到反例被證偽，這些精美的大樓就會如空中樓閣一樣曇花一現，最終崩塌，給數論帶來災難性的結果。

質數分佈規律

質數作為一類特殊的整數，任性而古怪，它們悄悄地隱藏在浩浩蕩蕩的自然數列裡，以自己獨有的奔放奏出魅力四射的音符。這曲神祕的質數音律，不知讓多少追尋真理呼喚的人為之陶醉，為之傾注畢生精力，只為找到質數起舞的腳步和節拍。

遺憾的是，驕傲的質數們都是孤獨的行者，在數千年的時光裡靜靜地等待著能讀懂它的真命天子。從尤拉(Euler)開始，人們終於得以在無邊無際的整數世界裡一瞥質數的浮光掠影。

黎曼(Riemann)一舉揭示了質數最深處的祕密，優雅地給出了質數分佈的精確表示式。人們第一次能夠近距離窺視質數們在自然界跳舞的規律，是那樣的豪放與不羈，平靜時如溫柔的月光灑在無波的大海，奔騰時又如滔天巨浪傾瀉在一葉孤舟，讓人愛恨交織、目馳神移。

然而，質數並不是完全隨性而為，它的表現始終臣服在黎曼Zeta函式零點的分佈規律上。因此，破譯黎曼猜想就等於完全確定了質數跳舞的規律和秩序，無疑將開啟數論中最激動人心的篇章。也因此，黎曼猜想成了無數人心目中夢想征服的珠穆朗瑪峰。登上這座高峰的勇士，也將和歷史上最偉大的名字連線在一起，成為後人敬仰和追隨的英雄。

在黎曼的時代，質數定理雖然經由高斯(Gauss)和勒讓德(Legendre)提出，但卻是未經證實的猜想。它讓最捉摸不定的質數在陽光下現出了蹤跡。當時最傑出的數學大師也為此傾心，試圖證明質數定理。

解決質數定理

在黎曼提出的第一個命題裡，數學家很容易證明Zeta函式的零點位於實部不小於0，不大於1的帶狀區域上，但是無法排除實部等於0和1的兩條直線。令人驚喜的是，人們很快發現如果能證明黎曼眼中顯而易見的第一命題中的某一關鍵結論，則可以直接證明質數定理。

在黎曼提交論文的36年後，數學家哈達瑪(Hadamard)等人不負眾望，終於證明了該結論，也順帶解決了質數定理，從而完成了自高斯以來眾多數學大師的心願。

然而黎曼在第一命題裡所輕鬆描述的全部結論，直到46年後的1905年才由蒙戈爾特(Mangoldt)完成。

黎曼猜想的一個小小命題裡就蘊含著如此巨大的能量，自此以後，數學家把注意力都集中到了黎曼猜想的攻堅上來。

於是，1900年的巴黎，希爾伯特(Hilbert)代表數學界提出了23個影響深遠的問題，黎曼猜想作為第8個問題的一部分而被世人所知。百年輪迴，時至今日，23個問題中已經有19個確定解決，還有3個部分解決。黎曼猜想依然如巍峨的奇山，矗立在人類的智力巔峰之上。

鑑於黎曼猜想的巨大難度，人們無法一步征服如此雄偉的山峰，只能在山腳和山腰尋找攀登的線索。一批數學家另闢蹊徑，不再駐足於尋求黎曼猜想的證明上，而是去計算黎曼猜想的零點。如果一旦發現某一個零點並不位於實部是0.5的直線上，這就等價於找到一個反例，從而證實黎曼猜想並不成立。

1903年，丹麥數學家第一次算出了前15個非平凡零點的具體數值。在黎曼猜想公佈44年後，人們終於看到了零點的模樣。毫無意外的是，這些零點的實部全部都是0.5。

1925年，李特爾伍德(Littlewood)和哈代(Hardy)改進了計算方法，算出前138個零點，這基本達到了人類計算能力的極限。

過於龐大的計算量，讓後人放棄了繼續尋找零點的努力。而為了選擇更多的非平凡零點，人們還在黑暗中苦苦摸索。沒想到，這一次，曙光來自於黎曼的遺稿。

手稿裡的智慧遺產

隨著證明黎曼猜想的努力付諸東流，而計算零點的可能也趨於渺茫，數學家陷入了漫長的痛苦期，以至於他們終於開始懷疑黎曼猜想不過是他直覺的猜測，而並沒有實際的計算證據。

黎曼時代的數學家喜歡發表他們認為已經成熟的學術成果，而對探索中的理論諱莫如深。因此，很多數學家公開發表的成果只是他們做研究極小一部分，許多價值連城的遠見並沒對外公佈。

這方面，高斯(Gauss)是一個典型。在1898年公佈的高斯科學日記裡，人們才發現，他的很多思想和成果已經遙遙領先那個時代，但是卻因為沒有發表而讓後世的數學家走了很多彎路。

比如，橢圓函式雙週期性理論的結果直到100年後才被後人重新發現。同時，高斯也最早意識到了非歐幾何的存在。這樣的例子比比皆是。

人們只能從高斯的稿件和信件中去尋找那些依舊蒙塵卻隱匿著科學巨匠光輝的成果。

因此，在黎曼猜想面前灰頭土臉的數學家把目光投向了黎曼的手稿。遺憾的是，大部分凝聚黎曼心血和洞見的手稿在他去世後被管家付諸一炬，從此人們失去了近距離了解黎曼進行科學思考和創作的機會，也讓他卓絕非凡的智慧結晶失去了傳承。

黎曼的妻子僥倖搶救出了一小部分手稿，並把它贈送給了黎曼生前的好友戴德金。後來，她擔心手稿裡可能有黎曼與她的私人信件，又將大部分手稿索回。這些殘留的珍貴手稿，最後經由戴德金獻給了哥廷根大學圖書館。這也成了黎曼留給後人的珍貴遺產。

很多慕名前去的數學家希望從黎曼的手稿裡得到啟發，但是，這些手稿太過艱深晦澀，人們止步於此，無法讀懂黎曼在天馬行空的字裡行間所展示出的才能。一代數學大師的遺物，在為將來破譯它的人牢牢地守護著祕密。

零點計算的推進

1932年，德國數學家西格爾(Siegel)終於在歷經兩年的苦苦鑽研後，從黎曼的手稿裡找到了關鍵的證據。正是這一證據表明，黎曼對他提出的三個命題有過極其深刻的思考和計算。

西格爾在手稿裡發現了黎曼當年隨手寫下的公式，這個公式今天被稱為黎曼-西格爾公式。西格爾也因為讓黎曼的公式重現天日而最終獲得了菲爾茲獎。

有些數學家甚至認為：如果不是西格爾發現了這個公式，時至今日，它會像埋入沙漠深處的寶藏，再難被後人重新發現。西格爾寫下這個公式的那天，距離黎曼在手稿裡留下這份遺產已經過去了73年。

黎曼-西格爾公式很快發揮了其巨大的威力，基於這一公式，人們可以很輕鬆地繼續推進零點的計算。

哈代(Hardy)的學生利用西格爾公式把非平凡零點的個數計算到了1041個，人工智慧之父圖靈推進到了1104個。此後的幾十年，在計算機的輔助下，人們繼續了零點計算的接力賽。

1966年，非平凡零點已經驗證到了350萬個。20年後，計算機已經能夠算出Zeta函式前15億個非平凡零點，這些零點無一例外地都滿足黎曼猜想。2004年，這一記錄達到了8500億。最新的成果是法國團隊用改進的演算法，將黎曼Zeta函式的零點計算出了前10萬億個，仍然沒有發現反例。

十萬億個飽含著激情和努力的證據再次堅定了人們對黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函式畢竟有無窮多個零點，十萬億和無窮大比起來，仍然只是滄海一粟。黎曼猜想的未來在哪裡，人們一片茫然，不得而知。與此同時，試圖證明黎曼猜想的人們也傳來了佳音。

零點的臨界線

圖3 數學家哈代(Hardy，1877年-1947年)，他證明了黎曼Zeta函式的零點的臨界線，這是針對黎曼猜想重大突破

英國數學家哈代首先證明Zeta函式的零點有無窮多個都位於實部是0.5的直線上。這是一個無比震驚的重大突破。在此之前，人們甚至不知道零點的個數是否有限，而哈代的結果則是直接告訴人們，零點的個數不僅是無窮的，而且還有無窮多個零點都位於這條臨界線上。但是遺憾的是，人們並不知道臨界線外是否存在非平凡零點。

隨後，挪威數學家塞爾伯格(Selberg)證明了臨界線上的零點個數佔全部非平凡零點個數的比例大於零，這意味著臨界線上的零點在全部零點的分佈中舉足輕重。

進一步，美國數學家萊文森(Levinson)引入了獨特的方法，證明臨界線的零點佔全部零點的比例達到了34.74%。

基於萊文森的技巧，美國數學家康瑞(Conrey)在1989年把比例推進到了40%，這也是迄今為止得到的最好結果。

物理世界的奇遇

在理論和計算的突破猛進下，人們開始關注零點在臨界線上的分佈規律。數學家蒙哥馬利(Montgomery)發現零點分佈的規律竟然和孿生質數對在數軸上的分佈規律類似。受此啟發，他寫下了一個關聯函式來描述這種規律。令人驚奇的是，該函式描述的理論結果和實際計算結果幾乎完美地吻合。

蒙哥馬利隱約覺得這背後隱藏著巨大的祕密，卻又百思不得其解。帶著這一疑問，他在1972年訪問了普林斯頓高等研究院。

在下午茶的階段，他偶遇了物理學家戴森(Dyson)。由於彼此研究領域的巨大差異，兩人只是禮貌地寒暄了一下。戴森隨口問問蒙哥馬利研究的課題。他將心中的困惑全盤托出，這差點驚掉了戴森的下巴。原來，讓蒙哥馬利雲裡霧裡的關聯函式正是戴森研究二十年的成果——這不是別的，正是一類隨機厄密矩陣本徵值的對關聯函式。這是一個描述多粒子系統在相互作用下，能級分佈規律的函式。

一邊是純數學的黎曼猜想，它關乎的僅僅是一個Zeta函式非零點分佈這樣最純碎的數學性質，揭示的是質數在自然數序列裡優雅的舞姿和節奏。另一邊，卻是最現實的物理世界，它連線著量子體系、無序介質和神經網路等等經典的混沌系統。

理論和現實在這裡交匯，在封閉的世界裡獨自發展了兩千多年後，作為數學最主要的分支——數論終於將觸角探及真實的時空。時至今日，人們對此呈現出的種種不可思議的關聯仍然感到匪夷所思。

數學理論照進現實

進入二十一世紀，越來越多的數學理論成果開枝散葉，很多早期被認為無用之用的分支，今日早已經成為現代科技最強有力的工具，為現代科技的發展推波助瀾。

曾經被人們束之高閣而偏安一隅的數學研究正化作人們手中的利器，在探索物質世界的途中披荊斬棘，更為人們提供越來越多的思想動力和創造的源泉。

微積分的誕生開啟了牛頓機械宇宙觀的巨集偉時代。人們驚奇地發現：普天之下，莫非王土，原來物理世界並不神祕，也並無不同，即使隱匿在宇宙深空的天體，其運動的規律都臣服在人類制定的法則之下。自此之後，牛頓力學開始大放異彩，基於其原理所發明的蒸汽機和發動機更是直接點燃了第一次工業革命的烈火。

我們今日所享受的資訊時代的文明，諸如電腦晶片和全球資訊網都深深地受益於量子力學的發展。這門徹底改變人們生活的科學，卻源自於很多數學基礎理論的饋贈，從線性代數、矩陣分析、統計學起，到數學家們為了解決五次方程求解問題而發明的群論等等。

基於廣義相對論，人們發明了突破地球引力約束的衛星。這使得天地通訊成為可能，也為深空探測、陸海導航打下了基礎。人們日益頻繁的出行，基於地理位置的GPS導航等等都在為我們的生活提供前所未有的便利。讓愛因斯坦流芳千古的廣義相對論，其數學原理正是非歐幾何(特別是黎曼幾何)和張量分析的應用。

自80年代末期，在物理理論中一枝獨秀的弦論，因為其大膽和前衛的想法，深受彼時科學家的青睞。這個有望解決相對論和量子力學的大一統理論，已經逐漸在主流科學界激起千層巨浪。弦論蓬勃發展的道路上，我們不難看到微分幾何堅定的背影。

2016年，三位物理學家分享了最高的榮譽——諾貝爾獎。他們因發現了物質拓撲相和在拓撲相變理論上的突出貢獻而獲獎。數學上艱深抽象的拓撲理論第一次也找到了用武之地。

物理學家用這個工具在理論上預測了一種特殊材質的存在，在它身上，人們能觀測到匪夷所思的反常量子霍爾效應。基於該效應發現的材料，能夠在常溫下、無需超強磁場的協助就能自發在某個方向上呈現電阻為零的特性。這讓計算機晶片的發展有了無限廣袤的空間，從此量子計算機和微型超級計算機的夢想距離我們又近了一大步。

數論：待開墾之地

數學的各大分支都在默默地為前沿科學提供精妙絕倫的應用。遺憾的是，有一門分支陪伴人類走過漫漫兩千多年真理探尋的艱辛旅途，卻還在其封閉的理論王國裡孤芳自賞。作為數學家們最悠久和最忠實的夥伴，不離不棄，它就是數論。

這個數學中最大的分支已經積累了無數深邃的理論成就，當今科技能受益於數論的成果不過就是隱祕在水下的冰山一角。人們都期待著，有朝一日，當冰山融化時，數論的碩果能惠及每一個後世子孫。破冰的希望，很可能就是處於群山之巔的黎曼猜想。

黎曼猜想，只是數論研究裡萬千瑰麗中的一朵。人們也期盼著，從它和現實世界那讓人千絲萬縷的關聯中，能找到開啟果園的鑰匙，讓世界從此瀰漫著果實的芬芳。

黃逸文(中國科學院數學與系統科學研究院)來源：科學大院

 

 

B黎曼猜想RiemannHypothesis及其解釋(上下)(12222字)

黎曼猜想，及其解釋(上)

文|Jørgen Veisdal 2013年本科畢業論文，OlingCat笨貓一隻譯於2018-03-31，資料簡化DataSimp20180921Fri

獻給約翰·納什

素數

你還記得素數，對吧？它們無法被其他自然數整除？OK。於是我們有了一個3000多年的問題：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, p。p是多少？31。下一個p呢？是37。之後的p呢？41。接著呢？43。但是……你怎麼知道下一個p是什麼？

若你能提出一個論點或公式(甚至僅在任何給定的數列中)能預測到下一個素數是什麼，你的名字就會與人類思想中最偉大的成就之一永遠聯絡在一起，與牛頓、愛因斯坦和哥德爾比肩。如果能解決素數為何表現出如此的性質，你就永遠不用再做任何事情了，永遠。

引言

歷史上曾有多位數學巨匠研究過素數的性質。從歐幾里得對素數無限性的第一個證明，到尤拉將素數與zeta函式聯絡起來的乘積公式；從高斯與勒讓德提出的素數定理公式，到它被阿達馬和德拉瓦萊普森證明；依舊佔據主導地位的數學家波恩哈德·黎曼則獨立為素數理論做出了最大的突破。他對素數的分佈做出了新的，前無古人的發現，所有這些都包含在一篇1859年出版的8頁論文裡，它至今仍是數論中最重要的論文之一。

自該論文出版以來，黎曼的論文一直是素數理論的中心，它確實是素數定理在1896年被證明的主要原因。自此之後，數學家們又找到了幾個新的證明，包括塞爾伯格和埃爾多斯的基本證明。然而黎曼關於zeta函式根的猜想依舊成謎。

素數有多少？

先來點兒簡單的。我們都知道(除0和1外)一個數字不是素數就是合數。所有合數都由素數構成，且可被因數分解為一些素數的乘積。素數則是該構建過程中的“積木”或“基本元素”。歐幾里得在公元前300年證明了素數有無限個。

歐幾里得定理

設素數集有限。建立一個所有素數的列表。令P為該列表中所有素數的積(將列表中的所有素數相乘)。將結果數字加一，Q = P + 1。同所有數字一樣，數字Q不是素數就是合數：

l  若Q為素數，你就找到了一個不在“所有素數的列表”中的素數。

l  若Q非素數，則為合數，即在列出的所有素數中，存在素數p可整除Q(因為所有合數都是一些素數的乘積)。每個構成P的素數p顯然整除P。若p能同時整除P和Q，那麼它應當也能整除二者之差，即1。然而沒有素數能夠整除1，因此p必定不在該素數列表中，這與該列表包含所有素數矛盾。

總存在另一個能整除Q的素數p不在該列表中，因此素數必有無限個。

為何素數如此難以理解？

任何初學者都能理解我前面提出的問題，僅此一點就足以說明它有多麼困難。甚至在進行過大量研究後，我們對素數的代數性質仍然知之甚少。科學界十分確信我們缺乏理解素數行為的能力，大數的因式分解(即找出一個數是由哪兩個素數相乘所得)便是加密理論的基礎之一。下面就是一種尋找它們的方法：

我們已經很好地理解了合數，即所有的非素數。它們由素數構成，你很容易就能寫下一個式子來預測和/或生成合數。這樣的“合數過濾器”稱作一個數篩，最有名的例子便是約公元前200年的“埃拉託斯特尼篩法”。它所做的就是簡單地在一個有限集中標記出每個素數的倍數。所以，先取素數 2，並標記出4,6,8,10等，接著取素數3，然後標出6,9,12,15等等，最後就只剩素數了。雖然很好理解，但正如你所料，埃拉託斯特尼篩法並不高效。

函式6n ± 1能顯著簡化此工作，這個簡單的函式會產生除2和3之外的所有素數，並移除所有3的倍數和所有偶數。將n = 1,2,3,4,5,6,7代入會產生結果：5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43。該函式生成的非素數只有25和35，它們分別可被分解為5×5和5×7。如你所料，之後的非素數為49 = 7×7、55 = 5×11等等。挺的簡單吧？

為了從視覺上展示它，我使用了自己稱為“合數梯”的東西，它能直觀地展現出該函式生成的合數相對於每個素數的佈局和組合。在下圖的前三列中，你可以清晰地看到素數5, 7, 11與它們各自的合數梯一直到91。第四列的混亂則展示了此篩子如何移除素數以外的所有的數字，它清楚地展現了為何素數如此難以理解。

合數梯子

基礎資源

所以這一切都與你可能聽說過的“黎曼猜想”有關？嗯...簡單來說，為了更好地理解素數，數學家們在19世紀便不再嘗試預測素數的精確位置，轉而將素數的現象視為一個整體。這種分析的方法就是黎曼所擅長的，他著名的猜想也由此得出。不過在解釋它之前，我們有必要先熟悉一些基礎資源。

調和級數

調和級數是個無限級數，它首先由尼科爾·奧雷斯姆在14世紀研究。其名字與音樂中諧波的概念有關，即高於基音基本頻率的泛音。該級數如下：

無限調和級數的第一項

該和式被奧雷斯姆證明是不收斂的(即不存在極限，不接近/趨向於任何特定的數字，而是一直增長到無窮大)。

Zeta 函式

調和級數是一個更一般形式的，被稱為zeta函式ζ(s)的一個特列。zeta函式的實際值由給定的r和n兩個實數決定：

zeta函式

若將n = 1代入，就會得到調和級數，它是發散的。然而對於n> 1的所有值, 該級數是收斂的，這意味著當r遞增時，其和趨向於某些數，即它不會增長到無窮大。

尤拉乘積公式

zeta函式和素數間的第一個聯絡是由尤拉發現的，當時他發現了n和p兩個自然數(大於零的整數)之間的關係，其中p為素數：

尤拉乘積公式，其中n，p均為大於零的數字且p為素數

該表示式首先出現在1737年一篇題為Variae observationescirca series infinitas(無窮級數的各種觀察)的論文中。該表示式陳述了zeta函式的求和等於一減去素數的-s次方的倒數的求積。這種驚人的聯絡奠定了現代素數理論的基礎，即使用zeta函式ζ(s)作為研究素數的方法。

此公式的證明是我最喜歡的證明之一，因此我在這裡收錄了它，即便它對我們的目的而言並非嚴格必須的(它太優雅了！)：

尤拉乘積公式的證明

尤拉從一般的zeta函式開始

zeta函式

首先，他將等式兩邊同時乘以第二項：

zeta 函式乘以1/(2s)

接著他從zeta函式中減去結果表示式：

zeta函式減去1/(2s)乘以zeta函式

他重複這個過程，緊接著在兩邊同時乘以第三項：

zeta函式減去1/(2s)乘以zeta函式，再乘以1/(3s)

接著從zeta函式中減去結果表示式：

zeta函式減去1/(2s)乘以zeta函式，減去1/(3)再乘以zeta函式

無限重複此過程，最後會留下表達式：

1減去所有素數的倒數，乘以zeta函式

如果你覺得這個過程很眼熟，那是因為尤拉實際上構造了一個篩子，它和埃拉託斯特尼篩法很像。它將非素數從 zeta 函式中篩了出去。接著，將該表示式除以所有素數的倒數項，就得到了：

zeta函式與素數的函式關係，對於前五個素數2,3,5,7和11

簡化後，就是：

尤拉乘積公式，該恆等式展示了素數與zeta函式間的聯絡

是不是非常漂亮？將s = 1代入，就得到了無限調和級數，再次證明了素數的無限。

莫比烏斯函式

奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯之後重寫了尤拉乘積公式，創造了一個新的求和。除了包含素數的倒數外，莫比烏斯函式也包含了所有可分解為奇數或偶數個質因數的乘積的自然數。他的數中留下的的數字可以被某些素數的平方整除。和式用μ(n)表示如下：

莫比烏斯函式，尤拉乘積公式的一個修改版，在所有的自然數上定義

該和式包含了以下數的倒數：

1.       所有素數；

2.       所有可寫為奇數個不同素數的乘積的自然數，字首一個負號；以及

3.       所有可寫為偶數個不同素數的乘積的自然數，字首一個正號。

以下為第一項：

1除以zeta函式ζ(s)的級數/求和

此和式不包含能夠被某些素數的平方(如 4,8,9 等等)整除的倒數。莫比烏斯函式 μ(n) 的值只有三種可能，除了字首(1 或 -1)外，就是從該和式中移除項(0)：

莫比烏斯函式μ(n)三個可能的取值

儘管莫比烏斯給出了第一個形式化定義，然而這個詭異的和式來自於比它早30多年的高斯的一個旁註，他認為這很不尋常，他寫道：

“該和式(對於一個素數p)的所有原根要麼≡ 0(當p-1可被一個平方數整除時)，要麼≡ ±1 (mod p)(當p-1為不相等的素數的乘積時)；若它們的個數為偶數，其符號為正；若它們的個數為奇數，則符號為負。”

素數計數函式

我們回到素數的問題上。為了理解隨著數值的升高素數是如何分佈的，我們無需知道它們在哪，只需知道到一個具體的數字為止它們的數量。

高斯引入的素數計數函式π(x)就是做這件事的，它會給出小於或等於一個給定實數的素數的數量。鑑於目前沒有已知的尋找素數的公式，我們只能通過影象或每當x為素數時階躍函式加1的方式來了解素數計數公式。下圖顯示了x = 200時的函式。

素數計數函式π(x)，其中x = 200

素數定理

素數定理也由高斯(和勒讓德獨立地)闡述：

素數定理

在漢語(原文英語)中，它被陳述為：“當x增長到無窮大時，素數計數函式π(x)會近似於x/ln(x)函式。換句話說，若你的計數足夠大，且將素數數量的圖繪製到一個非常大的數x，接著繪製x除以x的自然對數，二者會臨近相同的值。兩函式影象如下，取x = 1000：

素數計數函式π(x)以及素數定理的估計，繪製到x = 1000

從概率的角度來說，素數定理說明若你隨機選擇一個自然數x，那麼P(x)，即該數字為素數的概率約為1/ln(x)。這意味著前x個整數中連續素數之間的平均間隙約為ln(x)。

對數積分函式

函式Li(x) 在除了x = 1之外的所有正實數上定義。它以一個從2到x的積分定義：

對數積分函式的積分表示

將此函式與素數計數函式和素數定理公式一起繪製，我們會看到其實Li(x)比x/ln(x)近似得更好：

對數積分函式Li(x)，素數計數函式π(x)和x/ln(x)一起繪製

若我們做一個表格，其中包含足夠大的x值、到x為止的素數個數以及舊函式(素數定理)與新函式(對數積分)之間的誤差，就能看出它近似得有多好：

到一個給定的10的冪的素數個數以及兩種估計對應的誤差項

從這裡可以很容易看出，對數積分函式的近似值遠遠好於素數定理函式，對於x = 10^14只“猜多了” 314,890個素數。然而，這兩個函式都只能向素數計數函式π(x)靠攏。Li(x)靠攏得更快，但隨著x增長到無窮大，素數計數函式與Li(x)和x/ln(x)的比率趨向於1。如圖所示：

將兩個估計和素數計數函式的比率收斂到1，其中x = 10,000

Gamma函式

自丹尼爾·伯努利和克里斯蒂安·哥德巴赫在1720年代研究如何將階乘函式擴充套件到非整數引數的問題以來，Gamma函式Γ(z)一直是一個重要的研究物件。它是階乘函式n!(1×2×3×4×5×...×n)延拓後向下移1：

Gamma函式，在z上定義

它的影象非常古怪：

Gamma函式Γ(z)繪製在範圍-6 ≤ z ≤ 6內

Gamma函式Γ(z)在所有實部大於零的複數z上定義。你可能知道，複數是帶虛部的一類數，寫作Re(z)+ Im(z)，其中Re(z)為實部(普通的實數)，Im(z)為虛部，以字母i表示。一個複數通常寫成z= σ + it的形成，其中σ為實部，it為虛部。複數非常有用，因為它們允許數學家和工程師求解和處理普通實數不允許的問題。視覺上，複數將傳統的一維“數軸”擴充套件成二維“數平面”，稱之為複平面，其中複數的實部繪製在x軸上，虛部繪製在y軸上。為了能夠使用Gamma函式Γ(z)，通常將其形式重寫為

Gamma函式Γ(z)的函式關係

通過該恆等式可獲得實部小於等於零的z的值。然而它不會給出負整數的值，因為它們沒有定義(從技術上說它們是奇異點或簡單的極點)。

Zeta與 Gamma

zeta函式與Gamma函式的聯絡由以下積分給出：

 

黎曼猜想，及其解釋(下)

文|Jørgen Veisdal 2013年本科畢業論文，OlingCat笨貓一隻譯於2018-03-31，資料簡化DataSimp20180921Fri

黎曼的工作

現在基礎資源已經齊備，我們終於可以建立起素數與黎曼猜想之間的聯絡了。

德國數學家波恩哈德·黎曼，1826年生於佈列斯倫茨。師從高斯的黎曼發表了分析與幾何領域的工作。他最大的貢獻在微分幾何領域，為後來愛因斯坦在廣義相對論中使用的幾何語言奠定了基礎。

他在數論中唯一的成就，論文Ueber dieAnzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse，“論小於給定數值的素數個數”被認為是該領域中最重要的論文。他在短短四頁中概述了：

l  黎曼zeta函式ζ(s)的定義，一個復值化的zeta函式；

l  zeta函式對於所有複數s≠1的解析延拓；

l  黎曼xi函式ξ(s)的定義，一個通過Gamma函式與黎曼zeta函式建立起聯絡的整函式；

l  黎曼zeta函式的兩個函式方程的證明;

l  黎曼素數計數函式J(x)的定義，通過素數計數函式和莫比烏斯函式定義；

l  通過黎曼zeta函式的非平凡零點定義的黎曼素數計數函式，給出了一個明確的公式來計算小於給定數值的素數個數。

這是個令人難以置信的壯舉！這種工程性和創造力大概從來沒人見過。絕對驚人！

黎曼zeta函式

我們已經看到了尤拉在它的乘積公式中展示的素數個數與zeta函式之間的緊密聯絡。然而除了這種關聯外，我們對它們的關係知道得並不多，而複數的引入則明確地展示了這二者之間是如何相互聯絡的。

黎曼是第一個對復變數s考慮zeta函式ζ(s)的人，其中s = σ + it。

黎曼zeta函式對於n，其中s = σ + it為複數，σ和t均為實數。

被稱為黎曼zeta函式的ζ(s)，是一個對所有實部大於1的複數(Re(s) > 1)解析(即有可定義的值)的無限級數，在這一區域內，它絕對收斂。

為了分析規則收斂區域(即復變數s的實部大於1)以外的區域中的函式，該函式需要重新定義。黎曼通過對Re(s) > 0半平面中絕對收斂的函式進行解析延拓，成功地做到了這一點。

黎曼zeta函式的重寫形式，其中{x} = x-∣x∣

zeta函式的新定義在除s = 1這一奇點/簡單極點外的Re(s) > 0半平面上解析。它在該定義域上叫做亞純函式，因為它除了在簡單極點s = 1處以外是全純的(此定義域中每一個點的領域均可微分)。它也是被稱為狄利克雷L-函式的一個很好的例子。

黎曼在他的論文中並未就此止步。它用Gamma函式Γ(z)繼續將他的zeta函式解析延拓到了整個複平面。為了保持本文的簡潔，我不會在這裡展示它的計算過程，但我強烈推薦你自己讀一下，它展現了黎曼敏銳的直覺和高超的技術。它的方法利用了Gamma函式Γ(z)對復變數的積分形式和雅可比theta函式ϑ(x)，它們一同重寫後會出現zeta函式。zeta函式的解析式為：

對於整個複平面的一個函式式zeta方程，除了s = 0和s = 1兩處奇點

在此形式中，可以看出ψ(s)項比x的任何次冪減少得更快，因此該積分對s的所有值收斂。甚至更進一步，黎曼注意到如果用1-s代替s，那麼大括號中的第一項是不變的。這樣做之後，黎曼就移除了s=0和s=1兩處極點，進一步擴充套件了此方程的用途，並定義了無奇點的黎曼xi函式：

黎曼xi函式ξ(s)

黎曼zeta函式的零點

zeta函式的根/零點(即當ζ(s) = 0 時)可被分為兩種型別，分別被稱作黎曼zeta函式的“平凡”和“非平凡”零點。

實部Re(s) < 0時存在的零點

平凡零點即容易找到和解釋的零點。它們在zeta函式的以下函式形式中最中意注意到：

黎曼的函式式zeta方程的一個變體

當正弦項為零時，該乘積亦為零。kπ處均是如此。因此，例如對於負偶數s= -2n，zeta函式為零。然而對於正偶數s = 2n，零點會與Gamma函式Γ(z)的極點抵消。這在原始的函式形式中更容易看到，若你將s = 2n代入，那麼該項的第一部分會是未定義的。

因此，黎曼zeta在每個負偶數s = -2n處都有零點。它們是平凡零點，可在以下函式影象上看到：

標出了s = -2, -4, -6等平凡零點的黎曼zeta函式ζ(s)

實部Re(s) > 1時存在的零點

從zeta的尤拉乘積表示中，我們立刻就會發現ζ(s)在s的實部大於1的區域內不能為零，因為如果其因子之一為零，則收斂的無窮大乘積只能為零，而素數無窮性的證明否定了這一點。

尤拉乘積公式

實部0 ≤ Re(s) ≤ 1時存在的零點

現在我們在Re(s) < 0的負半平面上找到了zeta的平凡零點，並展示了在Re(s) > 1的區域上不可能存在任何零點。然而在這兩個區域之間，被稱為臨界帶的區域，幾百年來一直佔據了分析數論的焦點。

黎曼zeta函式ζ(s)在區間-5 < Re < 2, 0 < Im < 60內實部和虛部的影象

在上圖中，我已經將ζ(s)函式的實部繪製成紅色，虛部為藍色。我們看到當s的實部為-2和-4時的兩個零點在左下方。在0和1之間，我已經突出了臨界帶，並標出了zeta函式ζ(s)的實部和虛部相交的地方。它們是黎曼函式的非平凡零點。隨著數值的升高，我們會看到更多零點，這兩個看似隨機的函式也隨著s虛部的升高變得越來越稠密。

黎曼zeta函式ζ(s)在區間-5 <Re < 2, 0 < Im < 100內實部和虛部的影象

黎曼xi函式

我們已經將黎曼xi函式ξ(s)(移除了奇點的函式方程版本，因此它在s的所有值上定義)定義為：

無奇點的黎曼xi函式

該函式滿足關係

黎曼xi函式正負值之間的對稱關係

這意味著該函式關於垂線Re(s) = 1/2對稱，使得ξ(1) =ξ(0)、ξ(2) = ξ(-1)等等。

此函式關係(s與1-s的對稱性)與尤拉乘積公式一同顯示了黎曼xi函式ξ(s)只在區間0 ≤ Re(s) ≤ 1內有零點。換句話說，黎曼xi函式的零點對應於黎曼zeta函式的零點。在某種意義上，黎曼zeta函式的臨界線R(s) = 1/2對應於黎曼xi函式ξ(s)的實數線(Im(s) = 0)。

任何人只要一看上面這兩張圖表，立刻就能注意到黎曼zeta函式ζ(s)的非平凡零點(即黎曼xi函式的零點)的實部Re(s)都等於1/2。黎曼在他的論文中簡要地提到了這種現象，這一簡短的註解，最終將成為他最偉大的遺產之一。

黎曼猜想

黎曼zeta函式ζ(s)非平凡零點的實部Re(s) = 1/2。

這是黎曼在他著名的論文中提出的未證明的推測的現代表述。它指出zeta在臨界帶0 ≤ Re(s) ≤ 1中的零點，即ζ(s) = 0，均有實部Re(s) = 1/2。若果真如此，那麼所有zeta的非平凡零點均有形式ζ(1/2 + it)。一個等價的表述(黎曼的原始表述)為黎曼xi函式ξ(s)的根均為實數。在下圖中，直線Re(s) = 1/2為橫軸。ζ(s)的實部Re(s)影象為紅色，而虛部Im(s)影象為藍色。非平凡零點為紅藍影象在橫軸上的交點。

黎曼zeta函式在直線Re(s) =1/2上的第一個非平凡零點

若黎曼猜想證明為真，則該函式的所有非平凡零點，即兩影象的交點均會出現在該直線上。

相信黎曼猜想的理由

我們有很多理由相信黎曼關於zeta函式零點的猜想為真。對數學家而言，也許最吸引人的原因是它對於素數分佈的意義。此猜想的數值驗證到非常高的值時仍然為真。實際上，該猜想的數值證據已經足夠強到在物理和化學這類領域中被視為經過實驗驗證了。然而，數學史上曾有幾個推測，從數值上顯示到非常高的值時為真，但仍然被證明是假的。德比夏爾(2004)講述了斯奎斯數的故事，它給出了一個非常非常大的數值上界，否定了高斯的一個推測，即對數積分Li(x)總是大於素數計數函式。它被利特爾伍德不加反例地證否，然後表明它在非常非常大的斯奎斯數以上必定失效，該數為10的(10的(10的34次方)次方)次方(10^(10^(10^34)))，雖然高斯的猜想已經被證明有誤，但要給出一個具體的例子仍遠超現今的數值計算能力。對於黎曼猜想來說也是如此，它“只不過才”被驗證了十的十二次方個非平凡零點而已。

黎曼zeta函式與素數

以黎曼猜想為真作為起點，黎曼開始研究其意義。他在論文中寫道：“……很可能所有根都是實數。當然我們希望對此有一個嚴格的證明；經過一番短暫而徒勞的嘗試後，我將它暫時擱置，因為它對我下的一個研究目標來說並不是必須的。”而他的下一個目標就是將zeta函式的零點與素數聯絡起來。回憶一下素數計數函式π(x)，它表示包括一個實數x以內的素數個數。黎曼用π(x)來定義他自己的素數計數函式，即黎曼素數計數函式J(x)。它被定義為：

黎曼素數計數函式

首先注意到該函式並非無限。對於某些項，該計數函式將為零，因為在x < 2時沒有素數。以J(100)為例，該函式由七項構成，因為第八項對於100會包含一個根8，它約等於1.778279...，因此該素數計數函式項為零，而其和為J(100) = 28.5333...。與素數計數函式一樣，黎曼素數計數函式J(x)也是一個階躍函式，它按照以下規則增加：

黎曼素數計數函式可能的值

為了將J(x)的值與到包括x以內素數的個數聯絡起來，我們通過一個被稱作莫比烏斯反演的過程(我不會在這展示它)恢復素數計數函式。其結果表示式為

素數計數函式π(x)以及它與黎曼素數計數函式和莫比烏斯函式μ(n)的關係

還記得莫比烏斯函式可能的值為

莫比烏斯函式μ(n)的三個可能的值

這意味著我們現在可以將素數計數函式寫成一個關於黎曼素數計數函式的函式：

素數計數函式寫成關於黎曼素數計數函式的函式，對於前七個n值的影象

這個新的表示式仍然是個有限求和，因為當x < 2時J(x)為零，畢竟沒有素數小於2。若我們現在考察J(100)這個例子，會得到和式

素數計數函式對於x = 100

我們得到的就是100以內素數的個數。

尤拉乘積公式的