剖析遞迴行為

• 遞迴行為
• 遞迴的聯想理解
• 遞迴的基本思想
• 舉個例子
• 深入剖析遞迴行為
• 遞迴行為的複雜度
• 一些補充

遞迴行為

“大事化小” 講的就是一個遞迴的思想，把一個規模大的問題通過劃分成小問題去解決，小問題繼續劃分

遞迴的聯想理解

遞迴像是你在金字塔的頂端，要收集最底的寶藏，你每下一層看沒有寶藏，找到了去往下一層的門，繼續去下一層，層和層之間的樓梯都是一樣的，看上去走的行程是一樣的，實際上它們是不同的樓梯，等你走到底拿了寶藏，你還要一層一層再爬回去。

遞迴的基本思想

“有來有回” 以及常聽到的 “自己呼叫自己”

當劃分為多個子問題處理時，重要的一點是子問題解決了，才可以繼續解決基於子問題的問題

舉個例子

一個數組左邊界是L，右邊界是R，（L和R都是位置），我們想要尋找這個陣列的最大值，我們現在將陣列一分為二，分別找出陣列左部分的最大值，和陣列右部分的最大值，最後返回二者之中的最大值。
5，3，1，8，6，2
L，1，2，3，4，R

var maxArr = [5,3,1,8,6,2];
function getMax(arr,L,R){
	if(L == R){
	return arr[L];
	}
	var mid = (L+R)/2;
	var maxLeft = getMax(arr,L,mid);
	var maxRight = getMax(arr,mid+1,R);
	return max = Math.max(maxLeft,maxRight);
}
getMax(maxArr,0,maxArr.length-1);
console.log(max);
 

可以看到提示程式碼錯誤：
“Maximum call stack size exceeded” 超過最大呼叫棧大小

原來系統用的是棧結構來解決這個問題，不過我們先改寫程式碼使它通過隨後詳細講解。

我們將var mid = (L+R)/2;改為var mid = L + ((R - L) >> 1);

打印出陣列最大值8

因為L，R表示下標時，L不會溢位，R不會溢位，L+R可能溢位，mid = (L+R)/2算出的mid可能是錯誤的，這樣是不安全的，但mid = （L+(R-L)/2）<R，R不溢位，所以絕對不會有溢位問題，最後用右移運算抖機靈。

深入剖析遞迴行為

遞迴就是系統幫你壓棧
遞迴函式getMax(arr,L,R)開始，系統準備一個棧，首先L和R相等嗎，相等則說明陣列只有一個元素則直接返回，否則繼續。首先L=0，R=5，產生一個變數mid = 2，隨後變數maxLeft需要子過程來產生，系統做的工作是把getMax(arr,0,5)以及程式碼跑到第幾行，mid = 2等資訊全部壓入棧中，然後呼叫子過程，先當與這個函式被歸擋，先跑子過程，繼續跑getMax(arr,0,2),一直繼續直到觸發L == R，即執行 return arr[L]返回。然後進行彈棧操作，讀取彈棧後的棧頂的資訊，完全還原現場當時的資訊，即發生到哪個子過程，程式碼跑到第幾行，再繼續執行之後的子過程，最終串起來子過程和父過程的通訊。

任何遞迴行為都可以改成非遞迴
將系統壓棧改成自己壓棧，就變成了非遞迴，即迭代

遞迴行為的複雜度

Master公式
T(N) = aT(N/b) + O(N^d)
T(N)表示樣本量為N的時間複雜度
T(N/b)表示子樣本的樣本量
a表示子過程發生的次數
O(N^d)表示除過子樣本發生之後剩下的操作的時間複雜度

以之前的例子為例，在一個數組中尋找最大值，陣列一切為2，整個陣列樣本量為N，左邊一半，樣本量為N/2，右邊一般，樣本量為N/2，左邊跑完跑右邊，樣本量為N/2的過程發生了2次，跑完子過程之後，比對最大的數值然後返回，是常數量的複雜度。
即：T(N) = 2T(N/2)+O(1)

Master公式的使用

T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)

1. log(b,a) > d -> 複雜度為O(N^log(b,a))
2. log(b,a) = d -> 複雜度為O(N^d * logN)
3. log(b,a) < d -> 複雜度為O(N^d)

劃分子問題的規模一樣才可以用master公式

上面的例子，a = 2， b = 2，d = 0 則O(N) = O(N）

一些補充

我們在分析一個問題寫演算法的時候，只關心一步，即父問題轉換為子問題那一步，我們只需要知道它們大層面的關係，子問題繼續轉換子問題以及如何轉換，轉換多少次，不需要去關心。
劃分是一個大範圍對等的劃分，例如：如果是奇數個數陣列，劃分為兩部分，資料不對等也屬於正確。