"紅色病毒"問題

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Problem Description 醫學界發現的新病毒因其蔓延速度和Internet上傳播的"紅色病毒"不相上下,被稱為"紅色病毒",經研究發現,該病毒及其變種的DNA的一條單鏈中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成對出現的。
現在有一長度為N的字串,滿足一下條件:
(1) 字串僅由A,B,C,D四個字母組成;
(2) A出現偶數次(也可以不出現);
(3) C出現偶數次(也可以不出現);
計算滿足條件的字串個數.
當N=2時,所有滿足條件的字串有如下6個:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由於這個資料肯能非常龐大,你只要給出最後兩位數字即可.  

 

Input 每組輸入的第一行是一個整數T,表示測試例項的個數,下面是T行資料,每行一個整數N(1<=N<2^64),當T=0時結束.  

 

Output 對於每個測試例項,輸出字串個數的最後兩位,每組輸出後跟一個空行.  

 

Sample Input 4 1 4 20 11 3 14 24 6 0  

 

Sample Output Case 1: 2 Case 2: 72 Case 3: 32 Case 4: 0     Case 1: 56 Case 2: 72 Case 3: 56

用母函式來做

A：(1 + x^2/1! + x^4/2! + ….); 

B:(1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …);

C:(1 + x^2/1! + x^4/2! + ….);

D:(1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …);

可以得到

G(x) = (1 + x^2/1! + x^4/2! + ….)2 * (1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …)2;

由泰勒展開式

ex = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …

e-x = 1 - x/1! + x^2/2! - x^3/3! + …

得到

G(x) = e^2x + ((e^x + e^-x)/2)2;

= (1/4) * (^e2x + 1)2

= (1/4) * (e^4x + 2*e^2x + 1);

又因為：

e4x = 1 + (4x)/1! + (4x)^2/2! + (4x)^3/3! + … + (4x)^n/n!;

e2x = 1 + (2x)/1! + (2x)^2/2! + (2x)^3/3! + … + (2x)^n/n!;
所以：

n次冪的排列數為 (1/4)(4^n + 2*2^n)
化簡為(4^(n-1)+2^(n-1))%100

因為資料比較大，所以要用到快速冪取模

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 long long mod_exp(long long a, long long b, long long c)        //快速冪取餘a^b%c
 4 {
 5     long long res, t;
 6     res = 1 % c; 
 7     t = a % c;
 8     while (b)
 9     {
10         if (b & 1)
11         {
12             res = res * t % c;
13         }
14         t = t * t % c;
15         b >>= 1;
16     }
17     return res;
18 }
19 int main()
20 {
21     int t;
22     while(~scanf("%d",&t),t)
23     {
24         int cases=0;
25         while(t--)
26         {
27             
28             cases++;
29             long long n;scanf("%lld",&n);
30             long long ans=(mod_exp(4,n-1,100)+mod_exp(2,n-1,100))%100; 
31             printf("Case %d: %lld\n",cases,ans);
32             
33         }
34         printf("\n");
35     }
36     return 0;
37 }

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