前言：
雖然這道題的名字有點那啥，但是題還是很好的，聽說是某道原題的加強版。

題意：
給定 $n$種顏色的球，第 $i$種顏色的球數量為 $A_{}$

題解：
這道題一開始就想偏到列舉迴圈節去了，看了題解才知道可以用容斥來算。

首先考慮算貢獻時首尾不相連怎麼做，這個時候我們可以列舉 $a_i$被分為了 $b_i$段，設其代價和為 $f(a_i,b_i)$，那麼貢獻為 $\prod f(a_i,b_i)*\text{ways}$， $\text{ways}$表示所有 $b_i$個段拼起來相鄰不同的方案數。

這個其實可以用多個顏色來一起容斥，我們再列舉一下最後每種顏色有幾個斷點被合併了，可以得到：
$\text{ways} = \sum_c (\prod\binom{b_i-1}{c_i}(-1)^{c_i}) \frac{(\sum b_i-c_i)!}{\prod((b_i-c_i)!)}$

然後其實就是要算這個玩意兒：
$\sum_b\sum_c (\prod f_{a_i,b_i} \binom{b_i-1}{c_i-1}(-1)^{b_i-c_i})\frac{(\sum c_i)!}{\prod c_i!}$

我們可以考慮把每個顏色球關於 $c$的egf搞出來，相當於是對每個 $c$，求：
$\sum_{b\ge c} \binom{b-1}{c-1}(-1)^{b-c}f_{a,b}$

然後分治FFT即可得到求答案的egf。

考慮一下 $c$的egf怎麼求，觀察一下這個 $f(a,b)$，不難發現其等於 $\binom{a+b-1}{2*b-1} = \binom{a+b-1}{a-b}$，相當於先分成 $b$段，插 $b-1$個板，然後每段選 $1$個數，這樣兩個組合數卷積也可以FFT優化一下。

然後考慮一個環怎麼做，我們強制規定這個序列從1開頭，不以1結尾就行了， $c_1$的egf那個 $c$要變成 $c-1$，可以算出從1開頭的方案數， $c_1$的egf的 $c$變成 $c-2$可以算出以1開頭且以1結尾的方案數，減一下就可以得到以1開頭不以1結尾的方案數。

不過注意一下，這裡如果每 $T$個就出現迴圈的話，最後會計算 $\frac{b}{\frac{m}{T}}$