【浙江省省選2009】狼和羊的故事

題目

【ZJOI2009】狼和羊的故事 (Standard IO)
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Description
　　“狼愛上羊啊愛的瘋狂，誰讓他們真愛了一場；狼愛上羊啊並不荒唐，他們說有愛就有方向．．．．．．”
　　Orez聽到這首歌，心想：狼和羊如此和諧，為什麼不嘗試羊狼合養呢？說幹就幹！
　　Orez的羊狼圈可以看作一個n*m個矩陣格子，這個矩陣的邊緣已經裝上了籬笆。可是Drake很快發現狼再怎麼也是狼，它們總是對羊垂涎三尺，那首歌只不過是一個動人的傳說而已。所以Orez決定在羊狼圈中再加入一些籬笆，還是要將羊狼分開來養。
　　通過仔細觀察，Orez發現狼和羊都有屬於自己領地，若狼和羊們不能呆在自己的領地，那它們就會變得非常暴躁，不利於他們的成長。
　　Orez想要新增籬笆的儘可能的短。當然這個籬笆首先得保證不能改變狼羊的所屬領地，再就是籬笆必須修築完整，也就是說必須修建在單位格子的邊界上並且不能只修建一部分。

Input
　　輸入資料存放在文字檔案ws.in中。
　　檔案的第一行包含兩個整數n和m。接下來n行每行m個整數，1表示該格子屬於狼的領地，2表示屬於羊的領地，0表示該格子不是任何一隻動物的領地。

Output
　　輸出資料存放在文字檔案ws.out中。
　　檔案中僅包含一個整數ans，代表籬笆的最短長度。

Sample Input
2 2
2 2
1 1

Sample Output
2

Data Constraint

Hint
【資料範圍】
　　10%的資料 n，m≤3
　　30%的資料 n，m≤20
　　100%的資料 n，m≤100

題解

一眼看，這道題還以為是計算幾何。並且直接貪心即可。抱著將信將疑的態度打了一個對拍，發現有一個棘手的“0”。這個“0”會使答案很難計算。我們發現，這個空地要麼是屬於狼的，要麼是屬於羊的領地。所以我們可以考慮最小割。基本思路就是，設S為羊的領地，T為狼的領地。如果割得離S近，代表這個"0"屬於羊的領地，否則反之，然後跑一遍最小割最大流。

正解

我想不到其他方法了。故只有一種方法。
建一個原點S表示羊的領地；T點表示狼的領地。原先就屬於羊的領地就朝S點連一條邊權為無限大的邊；原先屬於狼的領地就朝T點同理。中間不確定的點就落在中間。將相鄰的點連起來，邊權為1。然後直接跑一遍最小割，就是答案。
你可以試這證明一下……

證明

首先，無限大的邊保證了原先屬於狼與羊的領地不會發生改變。而且，肯定會割掉中間那些關於籬笆的邊；對於不定項的點，如果割去左邊的邊，那麼就肯定是歸屬於羊了，否則反之。

程式碼

#include<cstdio> 
#include<cstring>
#define N 101
 

#define M 101 
using namespace std;
int total1,S,T,n,m;
int fx[5]={0,0,1,0,-1};
int fy[5]={0,1,0,-1,0}; 
int h[N*M*6],dis[N*M+2],head[N*M*6],next[N*M*6],edge[N*M*6],v[N*M*6];
int a[N][M]; 
void insert(int x,int y,int z)
{
	total1++;
	next[total1]=head[x];
	head[x]=total1;
	edge[total1]=y;
	v[total1]=z;
}
bool bfs()
{
	memset(dis,0,sizeof(dis));
	int l=1,r=1;
	h[1]=S;
	dis[S]=1;
	while (l<=r)
	{
		int u=h[l];
		for (int i=head[u];i;i=next[i])
		{
			int y=edge[i];
			if (v[i]>0&&dis[y]==0)
			{
				r++;
				h[r]=y;
				dis[y]=dis[u]+1;
				if (y==T) return true;
			}
		}
		l++;
	}
	return false;
}
int dinic(int k,int flow)
{
	if (k==T) return flow;
	int rest=flow;
	for (int i=head[k];i;i=next[i])
	{
		int y=edge[i];
		if (v[i]>0&&dis[y]==dis[k]+1)
		{
			int cost;
			if (rest>v[i]) cost=v[i];
			else	cost=rest;
			int get=dinic(y,cost);
			if (get==0) dis[y]=0;
			rest-=get;
			v[i]-=get;
			v[i^1]+=get;
			if (rest==0) break;
		}
	}
	return flow-rest;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	total1=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);	
		}	
	}	
	S=0;
	T=n*m+1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			if (a[i][j]==2)
			{
				insert(T,(i-1)*m+j,0);
				insert((i-1)*m+j,T,999999);
				//printf("%d %d %d\n",(i-1)*m+j,T,999999); 
			} 
			if (a[i][j]==1)
			{
				insert((i-1)*m+j,S,0);
				insert(S,(i-1)*m+j,999999);
				//printf("%d %d %d\n",S,(i-1)*m+j,999999); 
			}
			for (int k=1;k<=4;k++)
			{
				int xx=i+fx[k];
				int yy=j+fy[k];
				if (xx>0&&yy>0&&xx<=n&&yy<=m)
				{
					if (a[i][j]==1)
					{
						if (a[xx][yy]!=a[i][j])
						{
							insert((i-1)*m+j,(xx-1)*m+yy,1);
							insert((xx-1)*m+yy,(i-1)*m+j,0);
						}	
					} 
					if (a[i][j]==0)
					{
						if (a[xx][yy]!=1)
						{
							insert((i-1)*m+j,(xx-1)*m+yy,1);
							insert((xx-1)*m+yy,(i-1)*m+j,0);
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	//printf("%d\n",(total1-1)/2);
	int maxflow=0;
	int flow;
	while (bfs())
		while (flow=dinic(S,999999)) maxflow+=flow;
	printf("%d",maxflow);
}