傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯絡

阿新 • • 發佈：2018-11-19

作者：徐北熊
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第一次回答一個跟自己的專業相關的題目。

首先，為什麼要進行變換？因為很多時候，頻率域比時域直觀得多。

傅立葉級數和傅立葉變換，表明時域的訊號可以分解為不同頻率的正弦波的疊加。而如果我們把兩個沒有公共頻率成分的訊號相加，一同傳送。在接收端接收到之後，用濾波器把兩個訊號分開，就可以還原出發送的兩個訊號。這就是通訊過程的實質。

而在這個過程中，傳送端傳送出去的訊號的最大頻率和最小頻率是否在接收端的帶通濾波器的上下邊界頻率之內？如果超出了濾波器的頻率範圍，接收端接收到的訊號就會丟失一部分資訊，接收端接收到的訊息就會有錯誤。
但這個問題從時域是很難看出來的，不過，從頻率域就一目瞭然。

因此傅立葉變換得到了廣泛應用，它的地位也非常重要。

然而，可以進行傅立葉變換的訊號似乎不那麼夠用，傅立葉變換的收斂有一個狄利克雷條件，要求訊號絕對可積/絕對可和。
為了使不滿足這一條件的訊號，也能讀出它的“頻率”，拉普拉斯變換和Z變換，對“頻率”的含義做出了擴充，使得大多數有用訊號都具有了對應的“頻率”域表示式，方便了對各個器件的設計。

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接下來一個問題，傅氏變換、拉氏變換、Z變換之間到底有什麼關係？

首先，傅立葉變換粗略分來包括連續時間傅立葉變換（CTFT）、離散時間傅立葉變換（DTFT）。
CTFT是將連續時間訊號變換到頻域，將頻率的含義擴充之後，就得到拉普拉斯變換。
DTFT是將離散時間訊號變換到頻域，將頻率的含義擴充之後，就得到Z變換。

這裡解釋一下，很多教材對於頻率的含義沒有明確規定，由於CTFT和DTFT的形式分別為 $X\left( j\omega \right)$ 和 $X\left( e^{j\omega} \right)$ ，因此很多人誤將頻率理解為 $j\omega$ 和 $e^{j\omega}$ 。
但事實上我們在繪製頻譜圖的時候，取的自變數都是 $\omega$ ，這樣才能畫出函式影象。否則CTFT和DTFT都將變成複平面上變化的函式，無法畫出函式影象了。
而且我們日常用到頻率這一概念時所說的 $f$ ，都是 $f=\frac{\omega}{2\pi}$ .其對應的角頻率恰恰是實數 $\omega$ ，而不是複數 $j\omega$ 或 $e^{j\omega}$ 。
因此，我們所說的頻率指的應當是 $\omega$ 而不是 $j\omega$ 或 $e^{j\omega}$ 。

1、連續時間傅立葉變換與拉普拉斯變換的關係
連續時間傅立葉變換的公式是： $\int_{-\infty}^{\infty } x(t)e^{-j\omega t} dt$

，這裡的 $\omega$ 是實數。
傅立葉變換要求時域訊號絕對可積，即 $\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t) \right| dt<\infty$ 。
為了讓不符合這個條件的訊號，也能變換到頻率域，我們給x(t)乘上一個指數函式 $e^{-\sigma t}$ ， $\sigma$ 為（滿足收斂域的）任意實數。
可以發現， $x(t)e^{-\sigma t}$ 這個函式，就滿足了絕對可積的條件，即 $\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t)e^{-\sigma t} \right| dt<\infty$ 。

關於為什麼 $x\left( t \right)e^{-\sigma t}$ 滿足絕對可積條件，這裡提一下，感性地說，我們知道負指數函式隨t的增大，趨於零的速度是所有函式中最快的，這也是為什麼我們描述某個現象暴漲的時候會說指數上升。因此大多數一般的函式 $x\left( t \right)$ 乘上某個負指數函式之後，一定絕對可積。
用更加嚴謹的數學表達，對於大多數 $x(t)$ ， $\exists \sigma\in \Re$ ，使得 $\lim_{t \rightarrow \infty}{e^{-\sigma t}}$ 是 $\lim_{t \rightarrow \infty}{x\left( t \right)}$ 的高階無窮小。即 $\lim_{t \rightarrow \infty}{\frac{e^{-\sigma t}}{x\left( t \right)}}=0$ 。因此在 $e^{-\sigma t}$ 的壓迫下， $x(t)e^{-\sigma t}$ 就滿足了絕對可積的條件。後文DTFT中的絕對可和條件與此類似，後文不再贅述。

於是這個新函式的傅立葉變換就是： $\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} dt$ ，
化簡得 $\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-(\sigma +j\omega )t}$ 。
顯然 $\sigma +j\omega$ 是一個複數，我們把這個複數定義為一個新的變數——複頻率，記為s。
於是便得到了拉普拉斯變換的公式： $\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-st} dt$

拉普拉斯變換解決了不滿足絕對可積條件的連續訊號，變換到頻率域的問題，同時也對“頻率”的定義進行了擴充。
所以拉普拉斯變換與連續時間傅立葉變換的關係是：
拉普拉斯變換將頻率從實數推廣為複數，因而傅立葉變換變成了拉普拉斯變換的一個特例。
當s為純虛數時，x(t)的拉普拉斯變換，即為x(t)的傅立葉變換。

從影象的角度來說，拉普拉斯變換得到的頻譜是一個複平面上的函式，（為方便作圖，這裡只給出了拉氏變換的幅度譜和傅氏變換的幅度譜的關係。相位譜具有類似的關係。）

而傅立葉變換得到的頻譜，則是從虛軸上切一刀，得到的函式的剖面。

2、離散時間傅立葉變換（DTFT）與Z變換的關係
DTFT的公式是 $\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]e^{-j\omega n} }$ ，這裡的 $\omega$ 是連續變化的實數。
同樣的，DTFT需要滿足絕對可和的條件，即 $\sum_{n=-\infty }^{\infty }{\left| x[n] \right| } <\infty$ 。
為了讓不滿足絕對可和條件的函式x[n]，也能變換到頻率域，我們乘一個指數函式 $a^{-n}$ ， $a$ 為（滿足收斂域的）任意實數。
則函式 $x[n]a^{-n}$ 的DTFT為： $\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]a^{-n}e^{-j\omega n} }$ ，
化簡得： $\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n](a\cdot e^{j\omega })^{-n} }$
顯然， $a\cdot e^{j\omega }$ 是一個極座標形式的複數，我們把這個複數定義為離散訊號的複頻率，記為z。
則得到Z變換的公式： $\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]z^{-n} }$ 。

關於這裡為什麼對x[n]乘以 $a^{-n}$ 而不是像拉氏變換中乘以 $e^{-\sigma n}$ ，主要是由離散序列的DTFT的週期性決定的。如果對離散序列進行拉氏變換，將 $\omega$ 對映到虛軸上，則得到的變換函式是在虛軸方向上週期變化的函式，這樣就沒有充分利用DTFT的週期性。
而Z變換令 $z=a\cdot e^{j\omega}$ ，則當a=1，即 $z=e^{j\omega}$ 時，隨著 $\omega$ 從 $-\infty$ 向 $+\infty$ 變化，z在複平面中的單位圓上以 $2\pi$ 為週期變化，如此恰能充分利用DTFT的週期性進一步簡化我們的計算。

Z變換解決了不滿足絕對可和條件的離散訊號，變換到頻率域的問題，同時也同樣對“頻率”的定義進行了擴充。
所以Z變換與離散時間傅立葉變換（DTFT）的關係是：
Z變換將頻率從實數推廣為複數，因而DTFT變成了Z變換的一個特例。
當z的模為1時，x[n]的Z變換即為x[n]的DTFT。

從影象的角度來說，Z變換得到的頻譜，是一個複平面上的函式，而DTFT得到的頻譜，則是沿著單位圓切一刀，得到的函式的剖面，從負實軸切斷展開的影象。（為方便作圖，這裡只給出了Z變換的幅度譜和傅氏變換的幅度譜的關係。相位譜具有類似的關係。）

作者：Heinrich
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著作權歸作者所有。商業轉載請聯絡作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

這三種變換都非常重要！任何理工學科都不可避免需要這些變換。

這三種變換的本質是將訊號從時域轉換為頻域。傅立葉變換的出現顛覆了人類對世界的認知：世界不僅可以看作雖時間的變化，也可以看做各種頻率不同加權的組合。舉個不太恰當的例子：一首鋼琴曲的聲音波形是時域表達，而他的鋼琴譜則是頻域表達。

三種變換由於可以將微分方程或者差分方程轉化為多項式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的計算成本。
另外，在通訊領域，沒有訊號的頻域分析，將很難在時域理解一個訊號。因為通訊領域中經常需要用頻率劃分通道，所以一個訊號的頻域特性要比時域特性重要的多。

具體三種變換的分析（應該是四種）是這樣的：

傅立葉分析包含傅立葉級數與傅立葉變換。傅立葉級數用於對週期訊號轉換，傅立葉變換用於對非週期訊號轉換。
但是對於不收斂訊號，傅立葉變換無能為力，只能藉助拉普拉斯變換。（主要用於計算微分方程）
而z變換則可以算作離散的拉普拉斯變換。（主要用於計算差分方程）

從複平面來說，傅立葉分析直注意虛數部分，拉普拉斯變換則關注全部複平面，而z變換則是將拉普拉斯的複平面投影到z平面，將虛軸變為一個圓環。（不恰當的比方就是那種一幅畫只能通過在固定位置放一個金屬棒，從金屬棒反光才能看清這幅畫的人物那種感覺。）

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