函數語言程式設計 - 有趣的Monoid（單位半群）
前言
Monoid（中文：單位半群，又名：么半群），一個來源於數學的概念；得益於它的抽象特性，Monoid在函數語言程式設計中起著較為重大的作用。
本篇文章將會以工程的角度去介紹Monoid的相關概念，並結合幾個有趣的資料結構（如Middleware、Writer）來展現Monoid自身強大的能力及其實用性。
Semigroup（半群）
在開始Monoid的表演之前，我們首先來感受一下Semigroup（半群），它在 維基百科上的定義 為：
集合S和其上的二元運算·:S×S→S。若·滿足結合律，即：∀x,y,z∈S，有(x·y)·z=x·(y·z)，則稱有序對(S,·)為半群，運算·稱為該半群的乘法。實際使用中，在上下文明確的情況下，可以簡略敘述為“半群S”。
上面的數學概念比較抽象，理解起來可能比較麻煩。下面結合一個簡單的例子來通俗說明：
對於自然數1、2、3、4、5、...而言，加法運算+可將兩個自然數相加，得到的結果仍然是一個自然數，並且加法是滿足結合律的：(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9。如此一來我們就可以認為自然數和加法運算組成了一個半群。類似的還有自然數與乘法運算等。
通過以上的例子，半群的概念非常容易就能理解，下面我通過Swift語言的程式碼來對Semigroup進行實現：
// MARK: - Semigroup
infix operator <> : AdditionPrecedence 協議Semigroup中聲明瞭一個運算方法，該方法的兩個引數與返回值都是同一個實現了半群的型別。我們通常將這個運算稱為append。
以下為String和Array型別實現Semigroup，並進行簡單的使用：
extension String: Semigroup {
static func <> (lhs: String, rhs: String) -> String {
return Monoid（單位半群）
定義
Monoid本身也是一個Semigroup，額外的地方是它多了單位元，所以被稱作為單位半群。單位元在維基百科上的定義 為：
在半群S的集合S上存在一元素e，使得任意與集合S中的元素a都符合 a·e = e·a = a
舉個例子，在上面介紹Semigroup的時候提到，自然數跟加法運算組成了一個半群。顯而易見的是，自然數0跟其他任意自然數相加，結果都是等於原來的數：0 + x = x。所以我們可以把0作為單位元，加入到由自然數和加法運算組成的半群中，從而得到了一個單位半群。
下面就是Monoid在Swift中的定義：
protocol Monoid: Semigroup {
static var empty: Self { get }
}
複製程式碼可以看到，Monoid協議繼承自Semigroup，並且用empty靜態屬性來代表單位元。
我們再為String和Array型別實現Monoid，並簡單演示其使用：
extension String: Monoid {
static var empty: String { return "" }
}
extension Array: Monoid {
static var empty: [Element] { return [] }
}
func test() {
let str = "Hello world" <> String.empty // Always "Hello world"
let arr = [1,2,3] <> [Int].empty // Always [1,2,3]
}
複製程式碼組合
對於有多個Monoid的連續運算，我們現在寫出來的程式碼是：
let result = a <> b <> c <> d <> e <> ...
複製程式碼若Monoid的數量居多，又或者它們是被包裹在一個數組或Sequence中，我們就很難像上面那樣一直在寫鏈式運算，不然程式碼會變得複雜難堪。此時可以基於Sequence的reduce方法來定義我們的Monoid串聯運算concat：
extension Sequence where Element: Monoid {
func concat() -> Element {
return reduce(Element.empty, <>)
}
}
複製程式碼如此一來我們就可以很方便地為位於陣列或Sequence中的若干個Monoid進行串聯運算：
let result = [a, b, c, d, e, ...].concat()
複製程式碼條件
在開始討論Monoid的條件性質前，我們先引入一個十分簡單的資料結構，其主要是用於處理計劃中即將執行的某些任務，我把它命名為Todo：
struct Todo {
private let _doIt: () -> ()
init(_ doIt: @escaping () -> ()) {
_doIt = doIt
}
func doIt() { _doIt() }
}
複製程式碼它的使用很簡單：我們先通過一個即將要處理的操作來構建一個Todo例項，然後在適當的時機呼叫doIt方法即可：
func test() {
let sayHello = Todo {
print("Hello, I'm Tangent!")
}
// Wait a second...
sayHello.doIt()
}
複製程式碼這裡還未能體現到它的強大，接下來我們就為它實現Monoid：
extension Todo: Monoid {
static func <> (lhs: Todo, rhs: Todo) -> Todo {
return .init {
lhs.doIt()
rhs.doIt()
}
}
static var empty: Todo {
// Do nothing
return .init { }
}
}
複製程式碼在append運算中我們返回了一個新的Todo，它需要做的事情就是先後完成左右兩邊傳入的Todo引數各自的任務。另外，我們把一個什麼都不做的Todo設為單位元，這樣就能滿足Monoid的定義。
現在，我們就可以把多個Todo串聯起來，下面就來把玩一下：
func test() {
let sayHello = Todo {
print("Hello, I'm Tangent!")
}
let likeSwift = Todo {
print("I like Swift.")
}
let likeRust = Todo {
print("And also Rust.")
}
let todo = sayHello <> likeSwift <> likeRust
todo.doIt()
}
複製程式碼有時候，任務是按照某些特定條件來判斷是否被執行，比如像上面的test函式中，我們需要根據特定的條件來判斷是否要執行三個Todo，重新定義函式簽名：
func test(shouldSayHello: Bool, shouldLikeSwift: Bool, shouldLikeRust: Bool)
為了能夠實現這種要求，通常來說有以下兩種較為蛋疼的做法：
// One
func test(shouldSayHello: Bool, shouldLikeSwift: Bool, shouldLikeRust: Bool) {
let sayHello = Todo {
print("Hello, I'm Tangent!")
}
let likeSwift = Todo {
print("I like Swift.")
}
let likeRust = Todo {
print("And also Rust.")
}
var todo = Todo.empty
if shouldSayHello {
todo = todo <> sayHello
}
if shouldLikeSwift {
todo = todo <> likeSwift
}
if shouldLikeRust {
todo = todo <> likeRust
}
todo.doIt()
}
// Two
func test(shouldSayHello: Bool, shouldLikeSwift: Bool, shouldLikeRust: Bool) {
let sayHello = Todo {
print("Hello, I'm Tangent!")
}
let likeSwift = Todo {
print("I like Swift.")
}
let likeRust = Todo {
print("And also Rust.")
}
var arr: [Todo] = []
if shouldSayHello {
arr.append(sayHello)
}
if shouldLikeSwift {
arr.append(likeSwift)
}
if shouldLikeRust {
arr.append(likeRust)
}
arr.concat().doIt()
}
複製程式碼這兩種寫法都略為複雜，並且還引入了變數，程式碼一點都不優雅。
這時，我們就可以為Monoid引入條件判斷：
extension Monoid {
func when(_ flag: Bool) -> Self {
return flag ? self : Self.empty
}
func unless(_ flag: Bool) -> Self {
return when(!flag)
}
}
複製程式碼在when方法中，如果傳入的布林值為true，那麼此方法將會原封不動地把自己返回，而如果傳入了false，函式則返回一個單位元，相當於丟棄掉現在的自己（因為單位元跟任意元素進行append運算結果都是元素本身）。unless方法則只是簡單地互換一下when引數中的布林值。
現在，我們就能優化一下剛剛test函式的程式碼：
func test(shouldSayHello: Bool, shouldLikeSwift: Bool, shouldLikeRust: Bool) {
let sayHello = Todo {
print("Hello, I'm Tangent!")
}
let likeSwift = Todo {
print("I like Swift.")
}
let likeRust = Todo {
print("And also Rust.")
}
let todo = sayHello.when(shouldSayHello) <> likeSwift.when(shouldLikeSwift) <> likeRust.when(shouldLikeRust)
todo.doIt()
}
複製程式碼比起之前的兩種寫法，這裡優雅了不少。
一些實用的Monoid
接下來我將介紹幾個實用的Monoid，它們能用在日常的專案開發上，讓你的程式碼可讀性更加簡潔清晰，可維護性也變得更強（最重要是優雅）。
Middleware（中介軟體）
Middleware結構非常類似於剛剛在文章上面提到的Todo:
struct Middleware<T> {
private let _todo: (T) -> ()
init(_ todo: @escaping (T) -> ()) {
_todo = todo
}
func doIt(_ value: T) {
_todo(value)
}
}
extension Middleware: Monoid {
static func <> (lhs: Middleware, rhs: Middleware) -> Middleware {
return .init {
lhs.doIt($0)
rhs.doIt($0)
}
}
// Do nothing
static var empty: Middleware { return .init { _ in } }
}
複製程式碼比起Todo，Middleware在todo閉包上設定了一個引數，引數的型別為Middleware中定義了的泛型。
Middleware的作用就是讓某個值通過一連串的中介軟體，這些中介軟體所做的事情各不相同，它們可能會對值進行加工，或者完成一些副作用（打Log、資料庫操作、網路操作等等）。Monoid的append操作將每個中介軟體組合在一起，形成一個統一的入口，最終我們只需將值傳入這個入口即可。
接下來就是一個簡單使用到Middleware的例子，假設我們現在需要做一個對富文字NSAttributedString進行裝飾的解析器，在裡面我們可以根據需要來為富文字提供特定的裝飾（修改字型、前景或背景顏色等），我們可以這樣定義：
// MARK: - Parser
typealias ParserItem = Middleware<NSMutableAttributedString>
func font(size: CGFloat) -> ParserItem {
return ParserItem { str in
str.addAttributes([.font: UIFont.systemFont(ofSize: size)], range: .init(location: 0, length: str.length))
}
}
func backgroundColor(_ color: UIColor) -> ParserItem {
return ParserItem { str in
str.addAttributes([.backgroundColor: color], range: .init(location: 0, length: str.length))
}
}
func foregroundColor(_ color: UIColor) -> ParserItem {
return ParserItem { str in
str.addAttributes([.foregroundColor: color], range: .init(location: 0, length: str.length))
}
}
func standard(withHighlighted: Bool = false) -> ParserItem {
return font(size: 16) <> foregroundColor(.black) <> backgroundColor(.yellow).when(withHighlighted)
}
func title() -> ParserItem {
return font(size: 20) <> foregroundColor(.red)
}
extension NSAttributedString {
func parse(with item: ParserItem) -> NSAttributedString {
let mutableStr = mutableCopy() as! NSMutableAttributedString
item.doIt(mutableStr)
return mutableStr.copy() as! NSAttributedString
}
}
func parse() {
let titleStr = NSAttributedString(string: "Monoid").parse(with: title())
let text = NSAttributedString(string: "I love Monoid!").parse(with: standard(withHighlighted: true))
}
複製程式碼如上程式碼，我們首先定義了三個最基本的中介軟體，分別可用來為NSAttributedString裝飾字型、背景顏色和前景顏色。standard和title則將基本的中介軟體進行組合，這兩個組合體用於特定的情境下（為作為標題和作為正文的富文字裝飾），最終文字的解析則通過呼叫指定中介軟體來完成。
通過以上的例子我們可以認識到：Todo和Middleware都是一種對行為的抽象，它們之間的區別在於Todo在行為的處理中並不接收外界的資料，而Middleware可從外界獲取某種對行為的輸入。
Order
試想一下我們平時的開發中會經常遇到以下這種問題：
if 滿足條件1 {
執行優先順序最高的操作...
} else if 滿足條件2 {
執行優先順序第二的操作
} else if 滿足條件3 {
執行優先順序第三的操作
} else if 滿足條件4 {
執行優先順序第四的操作
} else if ...
複製程式碼這裡可能存在一個問題，那就是優先順序的情況。假設某一天程式要求修改將某個分支操作的優先順序，如將優先順序第三的操作提升到最高，那此時我們不得不改動大部分的程式碼來完成這個要求：比方說將兩個或多個if分支程式碼的位置互換，這樣改起來那就很蛋疼了。
Order就是用於解決這種與條件判斷相關的優先順序問題：
// MARK: - Order
struct Order {
private let _todo: () -> Bool
init(_ todo: @escaping () -> Bool) {
_todo = todo
}
static func when(_ flag: Bool, todo: @escaping () -> ()) -> Order {
return .init {
flag ? todo() : ()
return flag
}
}
@discardableResult
func doIt() -> Bool {
return _todo()
}
}
extension Order: Monoid {
static func <> (lhs: Order, rhs: Order) -> Order {
return .init {
lhs.doIt() || rhs.doIt()
}
}
// Just return false
static var empty: Order { return .init { false } }
}
複製程式碼在構建Order的時候，我們需要傳入一個閉包，在閉包中我們將處理相關的邏輯，並返回一個布林值，若此布林值為true，則代表此Order的工作已經完成，那麼之後優先順序比它低的Order將不做任何事情，若返回false，代表在這個Order裡面我們並沒有做好某個操作（或者說某個操作不符合執行的要求），那麼接下來優先順序比它低的Order將會嘗試去執行自身的操作，然後按照這個邏輯一直下去。
Order的優先順序是通過它們排列的順序決定的，比方說let result = orderA <> orderB <> orderC，那麼優先順序就是orderA > orderB > orderC，因為我們在定義append的時候使用到了短路運算子||。
靜態方法when能夠更加簡便地通過一個布林值和一個無返回值閉包來構建Order，日常開發可自行選擇使用Order本身的建構函式還是when方法。
func test(shouldSayHello: Bool, shouldLikeSwift: Bool, shouldLikeRust: Bool) {
let sayHello = Order.when(shouldSayHello) {
print("Hello, I'm Tangent!")
}
let likeSwift = Order.when(shouldLikeSwift) {
print("I like Swift.")
}
let likeRust = Order.when(shouldLikeRust) {
print("And also Rust.")
}
let todo = sayHello <> likeSwift <> likeRust
todo.doIt()
}
複製程式碼如上面例子中，三個Order的操作要麼全部都不會執行，要麼就只有一個被執行，這取決於when方法傳入的布林值，執行的優先順序按照append運算的先後順序。
Array
文章已在之前為Array實現了Monoid，那麼Array在日常的開發中如何可以利用Monoid的特性呢，我們來看下面的這個程式碼：
class ViewController: UIViewController {
func setupNavigationItem(showAddBtn: Bool, showDoneBtn: Bool, showEditBtn: Bool) {
var items: [UIBarButtonItem] = []
if showAddBtn {
items.append(UIBarButtonItem(barButtonSystemItem: .add, target: self, action: #selector(add)))
}
if showDoneBtn {
items.append(UIBarButtonItem(barButtonSystemItem: .done, target: self, action: #selector(done)))
}
if showEditBtn {
items.append(UIBarButtonItem(barButtonSystemItem: .edit, target: self, action: #selector(edit)))
}
navigationItem.rightBarButtonItems = items
}
@objc func add() { }
@objc func done() { }
@objc func edit() { }
}
複製程式碼就像在之前講Todo那樣，這樣的程式碼寫法的確不優雅，為了給ViewController設定rightBarButtonItems，我們首先得宣告一個數組變數，然後再根據每個條件去給陣列新增元素。這樣的程式碼是沒有美感的！
我們通過使用Array的Monoid特性來重構一下上面的程式碼：
class ViewController: UIViewController {
func setupNavigationItem(showAddBtn: Bool, showDoneBtn: Bool, showEditBtn: Bool) {
let items = [UIBarButtonItem(barButtonSystemItem: .add, target: self, action: #selector(add))].when(showAddBtn)
<> [UIBarButtonItem(barButtonSystemItem: .done, target: self, action: #selector(done))].when(showDoneBtn)
<> [UIBarButtonItem(barButtonSystemItem: .edit, target: self, action: #selector(edit))].when(showEditBtn)
navigationItem.rightBarButtonItems = items
}
@objc func add() { }
@objc func done() { }
@objc func edit() { }
}
複製程式碼這下子就優雅多了~
Writer Monad
Writer Monad是一個基於Monoid的Monad（單子），旨在執行操作的過程中去順帶記錄特定的資訊，如Log或者歷史記錄。若你不瞭解Monad沒有關係，這裡不會過多提及與它的相關，在閱讀程式碼時你只需要搞清楚其中的實現原理即可。
// MARK: - Writer
struct Writer<T, W: Monoid> {
let value: T
let record: W
}
// Monad
extension Writer {
static func `return`(_ value: T) -> Writer {
return Writer(value: value, record: W.empty)
}
func bind<O>(_ tran: (T) -> Writer<O, W>) -> Writer<O, W> {
let newOne = tran(value)
return Writer<O, W>(value: newOne.value, record: record <> newOne.record)
}
func map<O>(_ tran: (T) -> O) -> Writer<O, W> {
return bind { Writer<O, W>.return(tran($0)) }
}
}
// Use it
typealias LogWriter<T> = Writer<T, String>
typealias Operation<T> = (T) -> LogWriter<T>
func add(_ num: Int) -> Operation<Int> {
return { Writer(value: $0 + num, record: "\($0)加\(num), ") }
}
func subtract(_ num: Int) -> Operation<Int> {
return { Writer(value: $0 - num, record: "\($0)減\(num), ") }
}
func multiply(_ num: Int) -> Operation<Int> {
return { Writer(value: $0 * num, record: "\($0)乘\(num), ") }
}
func divide(_ num: Int) -> Operation<Int> {
return { Writer(value: $0 / num, record: "\($0)除\(num), ") }
}
func test() {
let original = LogWriter.return(2)
let result = original.bind(multiply(3)).bind(add(2)).bind(divide(4)).bind(subtract(1))
// 1
print(result.value)
// 2乘3, 6加2, 8除4, 2減1,
print(result.record)
}
複製程式碼Writer為結構體，其中包含著兩個資料，一個是參與運算的值，型別為泛型T，一個是運算時所記錄的資訊，型別為泛型W，並且需要實現Monoid。
return靜態方法能夠建立一個新的Writer，它需要傳入一個值，這個值將直接儲存在Writer中。得益於Monoid單位元的特性，return在構建Writer的過程中直接將empty設定為Writer所記錄的資訊。
bind方法所要做的就是通過傳入一個能將運算值轉化成Writer的閉包來對原始Writer進行轉化，在轉化的過程中bind將記錄資訊進行append，這樣就能幫助我們自動進行資訊記錄。
map方法通過傳入一個運算值的對映閉包，將Writer內部的運算值進行轉換。
其中，map運算來源於函數語言程式設計概念Functor，return和bind則來源於Monad。大家如果對此有興趣的可以查閱相關的內容，或者閱讀我在之前寫的有關於這些概念的文章。
利用Writer Monad，我們就可以專心於編寫程式碼的業務邏輯，而不必花時間在一些資訊的記錄上，Writer會自動幫你去記錄。
尾
這篇文章沒有提及到的Monoid還有很多，如Any、All、Ordering ...，大家可以通過查閱相關文件來進行。
對於Monoid來說，重要的不是在於去了解它相關的實現例子，而是要深刻地理解它的抽象概念，這樣我們才能說認識Monoid，才能舉一反三，去定義屬於自己的Monoid例項。
事實上Monoid的概念並不複雜，然而函數語言程式設計的哲學就是這樣，希望通過一個個細微的抽象，將它們組合在一起，最終成就了一個更為龐大的抽象，構建出了一個極其優雅的系統。