本文是學習演算法的筆記，《資料結構與演算法之美》，極客時間的課程

上篇文章說了時間複雜度的問題，這篇文章主要說幾個概念
最好情況時間複雜度 （best case time complexity）
最壞情況時間複雜度（worst case time complexity）
平均情況時間複雜度（average case time complexity）
均攤時間複雜度（amortized time complexity）

// n 表示資料a 的長度
int find(int[] a , int n, int x){
	int pos = -1;
	int i = 0;
	for(; i<n; i++){
		if(a[i] = x){
			pox = i;
			break;
		}
	}
	return pos;
}

 

這段程式碼就是找出x 在陣列a中的位置並返回，如果不在陣列中則返回-1
如何分析這段程式碼的複雜度，假設x是陣列的第一個元素，那麼時間複雜度就是O(1)，它就對應最好情況時間複雜度。如果x是陣列的最後一個元素，那時間複雜度就是O(n)，它就對應最壞時間複雜度。

那什麼是平均情況時間複雜度呢？為了方便計算，元素x是陣列內元素的概率為p, 等於每個元素的概率就是1/np，那麼求出在數組裡的加權平均數 1* 1/np + 2* 1/np +……+n * 1/np = (1+n)/2p，若在陣列外,複雜度為 (n+1)*(1-p)。總的時間複雜度就是(n+1)*常數 即為0(n)

至於均攤時間複雜度，運用場景是很少的，有點複雜。前面的幾個概念掌握基本就夠用了。簡單說下，看下面的虛擬碼。（只是為了說明這種情況，實際上，沒人會這麼寫程式碼）

int[] array = new int[n];
int count = 0;
void insert(int val){
	if(count == array.length){
		int sum = 0;
		for(int i = 0; i < array.length : i++){
			sum = sum + array[i]
		}
		array[0] = sum;
		count = 1;
	}
}

解析下這段程式碼，往一個數組中插入資料，當陣列有空閒的空間，就直接插入。若沒有，就把求出陣列元素的和，再清空陣列，把這個和賦值給陣列的第一個元素。

複雜度分析，最好情況，數組裡有空間，直接插入，最好情況時間複雜度為O(1)，最壞情況，陣列沒有空間了，需要做一次陣列遍歷之後求和，最壞情況時間複雜度為O(n)。平均情況時間複雜度，可有前面講的概率的方法計算，是O(1)。

陣列長度為n,就有n個位置可供插入，還有一種情況是陣列插滿了。總共(n+1)種情況，每種情況概率就是1/(n+1)。 就是n個1 * 1/(n+1)相加，然後再加上 n * 1/(n+1) 最後算出來就是O(1)。

這個insert()方法很特殊，很有規律，n 個時間複雜度為O(1)之後，緊跟著一個時間複雜度O(n)，迴圈往復。這時，可引入簡單的均攤時間複雜度來分析，可以不用複雜的加權平均數求平均情況時間複雜度。大概可以這麼理解，把一個O(n)操作，均分到n個o(1)操作，總體上就得到o(1)。

一般來說，在可以用到均攤時間複雜度的地方，其值等於最好情況時間複雜度。