資料結構和演算法，本身就是要解決 “快” 和 “省” 的問題。考量的指標分別就是 “時間複雜度” 和 “空間複雜度”。

時間複雜度表示程式碼執行時間隨著資料規模增長的變化趨勢，也叫漸進時間複雜度。

空間複雜度，全稱漸進空間複雜度，表示演算法的儲存空間和資料規模之間的增長關係。

進行復雜度分析的原因：

事後統計法：簡單來說，就是讓程式碼在實際的平臺跑一遍。

事後統計法有以下侷限性：

1，測試結果非常依賴測試環境

2，測試結果受資料規模的影響很大

大O複雜度表示法：

T(n) = O(f(n))

T(n)表示程式碼的執行時間，n表示資料規模的大小，f(n)表示每行程式碼執行的次數總和

時間複雜度分析：

1，只關注迴圈執行次數最多的一段程式碼

程式碼示例：

int cal(int n){
    int sum = 0;
    int i = 1;
    for(; i <= n; ++i){
         sum = sum + i;   
    }
    return sum;
}

第2、3行程式碼都是常量級的執行時間，與n的大小無關，所以對於複雜度並沒有影響。迴圈執行次數最多的是第4、5兩行程式碼。

總的時間複雜度是O(n);

2，加法法則：總複雜度等於量級最大的那段程式碼的複雜度

程式碼示例：

int call(int n){
    int sum_1 = 0;
    int p = 1;
    for(; p < 100; ++p){
        sum_1 = sum_1 + p;
    }

    int sum_2 = 0;
    int q = 1;
    for(; q < 100; ++q){
        sum_2 = sum_2 + q;
    }

    int sum_3 = 0;
    int i = 1;
    int j = 1;
    for(; i <= n; ++i){
        j = 1;
        for(; j <= n; ++j){
            sum_3 = sum_3 + i*j;
        }
    }

    return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
 

第一段：sum_1部分，屬於常量的執行時間。對於一個執行次數固定的程式碼，即使迴圈10w，100w次，只要是一個已知數，跟n無關，照樣是常量級的執行時間。

第二段和第三段：時間複雜度分別是O(n)和O(n2).

總的時間複雜度等於量級最大的那段程式碼的時間複雜度。上例中：T(n) = O(n)；

3，乘法法則：巢狀程式碼的複雜度等於巢狀內外程式碼複雜度的乘積

程式碼示例：

int cal(int n){
    int ret = 0;
    int i= 1;
    for (; i < n; ++i){
        ret = ret + f(i);
    }
}


int f(int n){
    int sum = 0;
    int i = 1;
    for(; i < n; ++i){
        sum = sum + i;
    }
    return sum;
}
 

以上示例中，cal()中巢狀呼叫了f()，複雜度為O(n)的函式巢狀呼叫複雜度為O(n)的函式，總的複雜度T(n) = T1(n) *T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

常見時間複雜度量級（按數量級遞增）

多項式量級：

• 常量階 O(1)
• 對數階 O(logn)
• 線性階 O(n)
• 線性對數階 O(nlogn)
• 平方階 O(n2)、立方階 O(n3)、... k次方階 O(nk)：n的k次方

非多項式量級：

• 指數階 O(2n) 2的n次方
• 階乘階 O(n!) 

以下幾個常見的多項式時間複雜度：

1，常量階 O(1)

執行次數是一個確定數字的程式碼，即執行時間不隨n的增長而增大，和n沒有關係，都記作 O(1)

2， O(logn)、 O(nlogn)

示例程式碼：

i = 1;
while( i <= n ){
    i = i*2;
}

以上程式碼，當2的k次方大於n時，迴圈終止，即執行次數:

對於，如果一段程式碼的時間複雜度是，我們迴圈執行n次，則時間複雜度就是。

3， 、

例項程式碼：

in cal(int m, int n){
    int sum_1 = 0;
    int i = 1;
    for(; i < m; ++i){
        sum_1 = sum_1 +i;
    }

    int sum_2 = 0;
    int j = 1;
    for(; j < n; ++j){
        sum_2 = sum_2 +j;
    }

    return sum_1 + sum_2;
}

以上，無法事先評估 m 和 n 誰的量級大，所以無法利用加法準則，上面程式碼的時間複雜度就是

同理，當 m和n的程式碼出現巢狀，且無法判斷m和n誰的量極大，時間複雜度對應的就是

空間複雜度分析

空間複雜度，全稱漸進空間複雜度，表示演算法的儲存空間和資料規模之間的增長關係。

程式碼例項：

void print(int n){
    int i = 0;
    int[] a = new int[n];
    for(i; i < n; ++i){
        a[i] = i * i;
    }

    for(i = n-1; i >= 0; --i){
        print out a[i]
    }
}

以上程式碼中，第二行i對應申請了一個空間儲存變數，屬於常量階，和資料規模n沒有關係，因此可以忽略。

第3行申請了一個大小為n的int 型別陣列，除此之外，剩下的程式碼都沒有佔用更多的空間。

所以整段程式碼的空間複雜度就是

常見的空間複雜度是 、和，像、 這樣的對數階複雜度平時都用不到。