二叉查詢樹 Binary Search Tree

 二叉查詢樹的定義

二叉查詢樹又稱二叉搜尋樹。其要求在二叉樹中的任意一個節點，其左子樹中的每個節點的值，都要小於這個節點的值，而右子樹的節點的值都大於這個節點的值。

二叉查詢樹的查詢操作

二叉樹類、節點類以及查詢方法的程式碼實現

先取根節點，如果它等於我們要查詢的資料，那就返回。

如果要查詢的資料比根節點的值小，那就在左子樹中遞迴查詢；

如果要查詢的資料比根節點的值大，那就在右子樹中遞迴查詢。

public class BinarySearchTree{
    //二叉樹節點類
    public
 
 class Node{
        //自動屬性：整型資料，左節點、右節點引用域
        public int Data { get; set; }
        public Node Left { get; set; }
        public Node Right { get; set; }
        public Node(int data){
            Data = data;
        }
    }
    //根結點
    private Node tree;
    public Node Tree{get{return tree;}}
    
 
//查詢方法
    public Node Find(int data){
    //從根節點遍歷
        Node p = tree;
        while (p != null){
            if (data > p.Data) p = p.Right;
            else if (data < p.Data) p = p.Left;
            else return p;
        }
        return null;
    }
}

二叉查詢樹的插入操作

新插入的資料一般都是在葉子節點上，所以我們只需要從根節點開始，依次比較要插入的資料和節點的大小關係。

如果要插入的資料比節點的資料大，並且節點的右子樹為空，就將新資料直接插到右子節點的位置；如果不為空，就再遞迴遍歷右子樹，查詢插入位置。

同理，如果要插入的資料比節點數值小，並且節點的左子樹為空，就將新資料插入到左子節點的位置；如果不為空，就再遞迴遍歷左子樹，查詢插入位置。

public void Insert(int data){
    //沒有根節點則插入根節點
    if (tree == null) {
        tree = new Node(data);
        return;
    }
    //遍歷根節點
    Node p = tree;
    while (p!=null){
        //根據資料大小找到左右子樹對應的葉節點，將資料插入
        if (data >= p.Data){
            if (p.Right == null){
                p.Right = new Node(data);
                return;
            }
            p = p.Right;
        } 
        else if (data < p.Data){
            if (p.Left == null){
                p.Left = new Node(data);
                return;
            }
            p = p.Left;
        }
    }
}

二叉查詢樹的刪除操作

第一種情況，刪除的節點沒有子節點直接將其父節點指向置為null。

第二種情況，刪除的節點只有一個子節點，將其父節點指向其子節點。

第三種情況，刪除的節點有兩個子節點，首先找到該節點右子樹中最小的的節點把他替換掉要刪除的節點 然後再刪除這個最小的節點，該節點必定沒有子節點，否則就不是最小的節點了

public void Delete(int data){
    Node p = tree;//p指向要刪除的節點
    Node pp = null;//記錄p的父節點
    while (p != null && p.Data != data){
        pp = p;
        if (data > p.Data) p = p.Right;
        else p = p.Left;
    }
    if (p == null) return;
    //要刪除的節點有兩個子節點
    if (p.Left != null && p.Right != null){
        Node minP = p.Right;
        Node minPP = p;
        while (minP.Left != null){
            minPP = minP;
            minP = minP.Left;
        }
        p.Data = minP.Data;
        p = minP;//p節點的值更新為最小節點的值，使p指向最小節點，下面就變成了刪除p
        pp = minPP;
    }
    //要刪除的節點有一個子節點，就獲取它的子節點
    Node child;
    if (p.Left != null) child = p.Left;
    else if (p.Right != null) child = p.Right;
    或者沒有節點，子節點設為null
    else child = null;
    //要刪除的節點是根節點
    if (pp == null) tree = child;
    //刪去節點，其父節點直接指向其子節點
    else if (pp.Left == p) pp.Left = child;
    else pp.Right = child;
}

關於二叉查詢樹的刪除操作，還有個非常簡單、取巧的方法，就是單純將要刪除的節點標記為“已刪除”，但是並不真正從樹中將這個節點去掉。

這樣原本刪除的節點還需要儲存在記憶體中，比較浪費記憶體空間，但是刪除操作就變得簡單了很多。而且，這種處理方法也並沒有增加插入、查詢操作程式碼實現的難度。

二叉查詢樹的其他操作

二叉查詢樹中還可以支援快速地查詢最大節點和最小節點、前驅節點和後繼節點。

二叉查詢樹除了支援上面幾個操作之外，還有一個重要的特性，就是中序遍歷二叉查詢樹，可以輸出有序的資料序列，時間複雜度是 O(n)，非常高效。因此，二叉查詢樹也叫作二叉排序樹。

下面使用一組測試資料，其資料結構如下所示

測試資料Program類

class Program{
    static void Main(string[] args){
        BinarySearchTree b = new BinarySearchTree();
        //插入資料
        b.Insert(12);
        b.Insert(15);
        b.Insert(5);
        b.Insert(6);
        b.Insert(2);
        b.Insert(22);
        b.Insert(32);
        b.Insert(10);
        b.Insert(16);
        b.Insert(13);
        b.Insert(1);
        //層序遍歷
        b.LevelOrder();
        Console.WriteLine();
        //刪除節點
        b.Delete(15);
        //再層序遍歷
        b.LevelOrder();
        Console.WriteLine();
        //中序遍歷
        b.InOrder(b.Tree);
        Console.WriteLine("Over");
        Console.ReadKey();
    }
}

層序遍歷和中序遍歷二叉查詢樹

//層序遍歷，就是圖的深度優先搜尋演算法
public void LevelOrder(){
    Queue<Node> q = new Queue<Node>();
    //根節點入棧，迴圈遍歷棧，直到棧空
    q.Enqueue(tree);
    while (q.Count != 0){
        //打印出棧的資料
        Node node = q.Dequeue();
        Console.Write(node.Data + ",");
        //將出棧的節點的子節點入棧
        if (node.Left != null) q.Enqueue(node.Left);
        if (node.Right != null) q.Enqueue(node.Right);
    }
}
//中序遍歷，相當於排序
public void InOrder(Node node){
    if (node == null) return;
    InOrder(node.Left);
    Console.Write(node.Data + ",");
    InOrder(node.Right);
}

輸出結果

12,5,15,2,6,13,22,1,10,16,32,
12,5,16,2,6,13,22,1,10,32,
1,2,5,6,10,12,13,16,22,32,Over

支援重複資料的二叉查詢樹

前面的二叉查詢樹的操作，我們預設樹中節點儲存的都是數字，針對的都是不存在鍵值相同的情況。

我們可以通過兩種辦法來構建支援重複資料的二叉查詢樹。

第一種方法

二叉查詢樹中每一個節點不僅會儲存一個數據，因此我們通過連結串列和支援動態擴容的陣列等資料結構，把值相同的資料都儲存在同一個節點上。

第二種方法

每個節點仍然只儲存一個數據。在查詢插入位置的過程中，如果碰到一個節點的值，與要插入資料的值相同，我們就將這個要插入的資料放到這個節點的右子樹，也就是說，把這個新插入的資料當作大於這個節點的值來處理。

當要查詢資料的時候，遇到值相同的節點，我們並不停止查詢操作，而是繼續在右子樹中查詢，直到遇到葉子節點，才停止。這樣就可以把鍵值等於要查詢值的所有節點都找出來。

對於刪除操作，我們也需要先查詢到每個要刪除的節點，然後再按前面講的刪除操作的方法，依次刪除。

二叉查詢樹的時間複雜度分析

最壞、最好情況

如果根節點的左右子樹極度不平衡，已經退化成了連結串列，所以查詢的時間複雜度就變成了 O(n)。

最理想的情況，二叉查詢樹是一棵完全二叉樹（或滿二叉樹）。不管操作是插入、刪除還是查詢，時間複雜度其實都跟樹的高度成正比，也就是 O(height)。而完全二叉樹的高度小於等於 log₂n。

平衡二叉查詢樹

我們需要構建一種不管怎麼刪除、插入資料，在任何時候都能保持任意節點左右子樹都比較平衡的二叉查詢樹，這就是一種特殊的二叉查詢樹，平衡二叉查詢樹。

平衡二叉查詢樹的高度接近 logn，所以插入、刪除、查詢操作的時間複雜度也比較穩定，是O(logn)。

二叉查詢樹相比散列表的優勢

散列表中的資料是無序儲存的

如果要輸出有序的資料，需要先進行排序。而對於二叉查詢樹來說，我們只需要中序遍歷就可以在 O(n) 的時間複雜度內，輸出有序的資料序列。

散列表擴容耗時很多

而且當遇到雜湊衝突時，效能不穩定，儘管二叉查詢樹的效能不穩定，但是在工程中，我們最常用的平衡二叉查詢樹的效能非常穩定，時間複雜度穩定在 O(logn)。

散列表存在雜湊衝突

儘管散列表的查詢等操作的時間複雜度是常量級的，但因為雜湊衝突的存在，這個常量不一定比 logn 小，所以實際的查詢速度可能不一定比 O(logn) 快。

加上雜湊函式的耗時，也不一定就比平衡二叉查詢樹的效率高。

散列表裝載因子不能太大

為了避免過多的雜湊衝突，散列表裝載因子不能太大，特別是基於開放定址法解決衝突的散列表，不然會浪費一定的儲存空間。

綜合這幾點，平衡二叉查詢樹在某些方面還是優於散列表的，所以，這兩者的存在並不衝突。

思考

如何通過程式設計，求出一棵給定二叉樹的確切高度呢？