前言：

在數學上，直線上的點有無窮多個。擔當在計算機光柵顯示器螢幕上表示這條直線時需要做一些處理。

為了在光柵顯示器上用這些離散的畫素點逼近這條直線，需要知道這些畫素點的x,y座標。

求出過p0,p1的直線段方程：y=kx+b; k=(y1-y0)/(x1-x0)(x1 ≠ x0)

假設x已知，即從x的起點x0開始，沿x方向前進一個畫素（步長=1），可以計算出相應的y值。因為畫素的座標時整數，所以y值還要進行取整處理

如:p(1.7,0.8)取整為p(1,0)而1.7和0.8分別離2和1較近，所以可以先將座標+0.5再取整

直線時最基本的圖形，一個動畫或真實感圖形往往需要呼叫成千上萬次畫執行緒序，因此直線演算法的好壞將直接影響圖形的質量和顯示速度。

 

直線的三種掃描轉換演算法：

• 數值微分演算法（Digital Differential Analyzer，簡稱DDA）
• 中點畫線法
• Bresenham演算法

 

數值微分法DDA(Digital DIfferential Analyer):

引進圖形學中一個很重要的思想——增量思想

這個演算法採用的是直線的斜截式方程（y=kx+b）。要求先算出直線的斜率,然後從起點開始，確定最佳逼近於直線的y座標。假設起點的座標為整數，直線方程為y=kx+b,k的取值在0到1之間，x每遞增1，y相應地遞增k。

這裡需要處理的是：畫素的座標都是整數，x每次加1，y值必須是整數才行，所以這裡要進行取整處理。如果採用+0.5進行出來，是可以達到效果，但是直線是最基本的圖形，一個動畫或者圖形往往要呼叫上萬次直線處理，所以相率十分低下。

此時，y=kx+b ，是通過一個乘法，再一個加法，再進行取整處理，才能畫出這條直線。在計算機中，加減乘除，最快的是加法運算，如果能把乘法運算取消的話，只剩加法運算，效率會大大提高！所以如果把乘法取消掉呢？那就是增量思想。

推導如下：

 

最終：yi+1 = kxi+1 + b。

式子的含義是：當前步的y值等於前一步的y值加上斜率k。這樣就把原來一個乘法和加法變成了一個加法！

我們用DDA演算法實驗一個例子：

首先計算K值，為0.6。0.6小於1。

下一次，x+1，新的y值為前一個y值+k: 0+0.6，進行四捨五入處理再加0.5取捨，為(0+0.6+0.5=1.1,四捨五入)1。

以此類推。。

 

DDA演算法缺陷：

當|k|大於1的情況下：此時例子如下：

如果在絕對值k大於1的情況下，出現的情況是光柵點太稀疏了！我們表達一個點，要足夠多的點，這樣才看上去會是一條直線，而此時用DDA演算法，光柵點太稀疏了！

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DDA演算法是否是最優呢？不是最優，如何改進呢？

第一個思路：計算機中，整數運算速度大於浮點運算速度，DDA演算法是浮點加法，我們能否改進為整數加法呢？？！

第二個思路：從直線方程上面型別做文章！下面就是中點畫線法！

 

中點畫線法

 

中點畫線法採用一般是方程。

首先，給一個點F(x,y)，用直線方程來說，對於直線的點，如果F(x,y)在直線上，則為0；如果F(x,y)直線上方則大於0；如果F(x,y)在直線下方則小於0.

 

 

所以中點畫線法的基本原理是：直線在x方向增加一個單位，則在y方向上的增量只能是0和1之間。

 

 

 

如上圖：ideal line為理想直線。仍然是x+1，確定y的值。

 M(xp + 1, yp + 0.5) 表示P1和P2的中點，Q是理想直線與垂直線x = xp + 1的交點，如果M點在Q點下方，很明顯P2離直線更新一些，如果M在Q的上方，則P1離直線更新一些，我們取離直線最近的那個畫素點，如果M和Q重合，我們約定取正右方的那個點。那麼如何判斷呢？即我們將M的座標代入到直線的一般式方程。

 

 

假設起點和終點為 (x0, y0)和(x1, y1)，則直線方程為：

F(x, y) = ax + by + c， 其中a = y0 - y1， b = x1 - x0，c = x0y1 - x1y0

 

對於直線上的點，F(x, y) = 0；直線上方的點，F(x, y) > 0；直線下方的點，F(x, y) < 0.  因此，判斷M在Q的上方還是下方，只需將M點帶入方程計算判別式：

d = F(M) = F(xp + 1, yp + 0.5) = a(xp + 1) + b(yp + 0.5) + c

 

對於每一個畫素的判別式d，根據它的符號來判斷下一個畫素點。 由於d是xp和yp的線性函式，可採用增量計算來提高運算效率。

當d小於0，中點M在直線的下方，說明直線離上面的點近，取上方的點。

當d大於0，說明中點M在直線的上方，說明直線離下面的點近，取下方的點。

這就是中點直線畫法的判別方式，y的值看d的大小，如圖下：

 

 

好了，此時，我們看看此時中點劃線演算法的效率：

為了求出d，我們需要兩個乘法，四個加法！

 

那麼我們如何提高效率，能否和DDA演算法一樣，增量思想呢？完全可以！關鍵在於如果推匯出d的遞推公式！

如下：

在d小於0的情況下：

 

上面已經推導的很清晰：稍微解釋一下，求解d0是把M0代進去，求第二個點，d1是把M1代進去，求緊接著的下一個點。

最終推匯出di = di-1 + A +B，增量為A+B

 

在d大於等於0的情況下：

這個也一樣，最終推匯出di+1=di+A，增量為A。

還缺少關鍵一部，那就是計算d的初始值d0的值：

P0為起始點，是直線上的點。所以下一個點的中點M必定為（x0+1,y+0.5），將M帶入到直線方程中，得到如上的公式，由於x0,y0是直線上的點，滿足方程等於0.所以Ax0+By0+C等於0.

所以d0 = A+0.5B！

最終的方程也就出來了，

但是由於(x0, y0)在直線上，所以F(x0, y0) = 0，因此，d的初始值為a + 0.5b。

d的初始值包含小數，因此可以用2d來代替d，寫出僅包含整數運算的演算法：

 

Bresenham演算法

Bresenham演算法也是一種計算機圖形學中常見的繪製直線的演算法，其本質思想也是步進的思想，但由於避免了浮點運算，相當於DDA演算法的一種改進演算法。

我們看下基本思想：

 

 

其實就是看d的符號（值）來缺點y的值！k是斜率。

 

如上圖來看：

首先求d0=0。d=d+k。一旦d>=1，就減去1，保證d的相對性。就是上圖的第三個d，是通過減1得到的。保證d在0到1之間！

判斷如下：

 

此時y的下一個值，看d的值，如上圖。但是上面也說到了，此時有浮點運算，如何提高到整數加法呢！我們發現其實只要看d的符號就可以，沒必要算出d。所以另e=d-0.5。用e來代替d。

此時：

 

原來d0=0，所以此時e0等於0.5。下一個e=e+k。當e大於0，e也要減去1，保證e也在0到1之間。

改進二：

因為k=dy/dx，該演算法會用到小數和除法，為了利於硬體實現，可以改用整數以避免除法，演算法中只用到誤差項的符號。所以

可以作如下替換：e' = 2 * e * dx;

 

最終結果出來了：

下一盤將附上程式碼