前言

線段樹，是一個很好用的能支援O（logn）區間操作的資料結構，隨著做一些稍微煩一點的題，有時候會發現有些情況要開一個數組的線段樹，更有甚者要樹套樹，而在很多情況下線段樹就不能把所有點都開滿了（否則會MLE記憶體超限），於是就出現了線段樹的動態開點寫法

基本思想

與普通的線段樹相同，動態開點線段樹只是一開始每一個節點都沒有，insert的時候，如果遇到節點是空的，那麼就宣告這個點，詢問的時候只訪問詢問的區間中非空節點，這樣一來，時間複雜度沒有問題還是O（$qlogn$），空間複雜度是O（有過值節點的數量* logn

例題

SDOI2014旅行
https://www.luogu.org/problemnew/show/3313
題目大意
現在有n個節點的樹，每個節點上有個顏色並且有個權值，要求支援：
1.詢問樹上的一條路徑上某顏色的權值和
2.詢問樹上的一條路徑上某顏色的最大權值
3.修改某節點的權值
4.修改某節點的顏色
這一題只要樹鏈剖分，每個顏色都開一棵線段樹，支援區間求和和區間max，當然不能開完所以點，只要動態開點就好了
動態開點的打好，可以練一練回收記憶體的方法，我的方法是開一個vector儲存沒有用過的記憶體節點
這個是我的AC程式碼，我用的是指標

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
namespace fast_IO
{
    const int IN_LEN=10000000,OUT_LEN=10000000;
    char ibuf[IN_LEN],obuf[OUT_LEN],*ih=ibuf+IN_LEN,*oh=obuf;
    char *lastin=ibuf+IN_LEN;
    const char *lastout=ibuf+OUT_LEN-1;
    inline char getchar_()
    {
        if
 
(ih==lastin)lastin=ibuf+fread(ibuf,1,IN_LEN,stdin),ih=ibuf;
        return (*ih++);
    }
    inline void putchar_(const char x)
    {
        if(ih==lastout)fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout),oh=obuf;
        *oh++=x;
    }
    inline void flush(){fwrite(obuf, 1, oh - obuf, stdout);}
}
using namespace fast_IO;
//#define getchar() getchar_()
//#define putchar(x) putchar_((x))
typedef long long LL;
#define rg register
template <typename T> inline T max(const T a,const T b){return a>b?a:b;}
template <typename T> inline T min(const T a,const T b){return a<b?a:b;}
template <typename T> inline T abs(const T a){return a>0?a:-a;}
template <typename T> inline void swap(T&a,T&b){T c=a;a=b;b=c;}
template <typename T> inline T gcd(const T a,const T b){if(a%b==0)return b;return gcd(b,a%b);}
template <typename T> inline void read(T&x)
{
    char cu=getchar();x=0;bool fla=0;
    while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}
    while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();
    if(fla)x=-x; 
}
template <typename T> void printe(const T x)
{
    if(x>=10)printe(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
template <typename T> inline void print(const T x)
{
    if(x<0)putchar('-'),printe(-x);
    else printe(x);
}
const int MAX=524288,MAXN=100007,MAXM=200007;
int n,m,q;
int head[MAXN],nxt[MAXM],tow[MAXM],tmp=1;
inline void addb(const int a,const int b)
{
    tmp++;
    nxt[tmp]=head[a];
    head[a]=tmp;
    tow[tmp]=b;
}
int v[MAXN],fr[MAXN],fa[MAXN],size[MAXN],dep[MAXN],tim=0,son[MAXN],top[MAXN],tid[MAXN],bak[MAXN];
void dfs1(const int u,int las,int depth)
{
    fa[u]=las;
    dep[u]=depth;
    size[u]=1;
    for(rg int i=head[u];~i;i=nxt[i])
    {
        const int v=tow[i];
        if(v!=las)
        {
            dfs1(v,u,depth+1);
            size[u]+=size[v];
            if(son[u]==-1||size[son[u]]<size[v])
            son[u]=v;
        }
    }
}
void dfs2(const int u,const int tp)
{
    top[u]=tp;
    tid[u]=++tim;
    bak[tim]=u;
    if(son[u]==-1)return;
    dfs2(son[u],tp);
    for(rg int i=head[u];~i;i=nxt[i])
    {
        int v=tow[i];
        if(v!=fa[u]&&v!=son[u])
            dfs2(v,v);
    } 
}
int l[MAX],r[MAX],mid[MAX];
struct node
{
    node *lson,*rson;
    int irt,maxx;
}Q[2000001],*root[100001];
#include<vector>
std::vector<node*>bin;
inline node *new_node()
{
    node *res=bin[bin.size()-1];
    bin.pop_back();
    res->lson=res->rson=0;
    res->irt=res->maxx=0;
    return res;
}
inline void del_node(node *res)
{
    bin.push_back(res);
}
void ini(const int root,const int ll,const int rr)
{
    l[root]=ll,mid[root]=(ll+rr)>>1,r[root]=rr;
    if(ll==rr)return;
    ini(root<<1,ll,mid[root]),ini(root<<1|1,mid[root]+1,rr);
}
inline void update(node *ROOT)
{
    ROOT->irt=ROOT->maxx=0;
    if(ROOT->lson)ROOT->irt+=ROOT->lson->irt,ROOT->maxx=max(ROOT->maxx,ROOT->lson->maxx);
    if(ROOT->rson)ROOT->irt+=ROOT->rson->irt,ROOT->maxx=max(ROOT->maxx,ROOT->rson->maxx); 
}
void insert(node *ROOT,const int root,const int wan,const int ins)
{
    if(l[root]==r[root]){ROOT->irt=ins,ROOT->maxx=ins;return;}
    if(wan<=mid[root])
    {
        if(!ROOT->lson)ROOT->lson=new_node();
        insert(ROOT->lson,root<<1,wan,ins);
    }
    else
    {
        if(!ROOT->rson)ROOT->rson=new_node();
        insert(ROOT->rson,root<<1|1,wan,ins);
    }
    update(ROOT);
}
node *del(node *ROOT,const int root,const int wan)
{
    if(l[root]==r[root])
    {
        del_node(ROOT);
        return 0;
    }
    if(wan<=mid[root])
    {
        ROOT->lson=del(ROOT->lson,root<<1,wan);
        if(ROOT->lson==0&&ROOT->rson==0)
        {
            del_node(ROOT);
            return 0;
        }
    }
    else
    {
        ROOT->rson=del(ROOT->rson,root<<1|1,wan);
        if(ROOT->lson==0&&ROOT->rson==0)
        {
            del_node(ROOT);
            return 0;
        }
    }
    update(ROOT);
    return ROOT;
}
int search_irt(node *ROOT,const int root,const int ll,const int rr)
{
    if(l[root]==ll&&r[root]==rr)return ROOT->irt;
    if(mid[root]>=rr)
    {
        if(ROOT->lson)return search_irt(ROOT->lson,root<<1,ll,rr);
        return 0;
    }
    else if(mid[root]<ll)
    {
        if(ROOT->rson)return search_irt(ROOT->rson,root<<1|1,ll,rr);
        return 0;
    }
    else
    {
        int res=0;
        if(ROOT->lson)res+=search_irt(ROOT->lson,root<<1,ll,mid[root]);
        if(ROOT->rson)res+=search_irt(ROOT->rson,root<<1|1,mid[root]+1,rr);
        return res;
    }
}
int search_maxx(node *ROOT,const int root,const int ll,const int rr)
{
    if(l[root]==ll&&r[root]==rr)return ROOT->maxx;
    if(mid[root]>=rr)
    {
        if(ROOT->lson)return search_maxx(ROOT->lson,root<<1,ll,rr);
        return 0;
    }
    else if(mid[root]<ll)
    {
        if(ROOT->rson)return search_maxx(ROOT->rson,root<<1|1,ll,rr);
        return 0;
    }
    else
    {
        int res=0;
        if(ROOT->lson)res=max(res,search_maxx(ROOT->lson,root<<1,ll,mid[root]));
        if(ROOT->rson)res=max(res,search_maxx(ROOT->rson,root<<1|1,mid[root]+1,rr));
        return res;
    }
}
inline int ssearch_irt(node *ROOT,int a,int b)
{
    int s=0;
    while(top[a]!=top[b])
    {
        if(dep[top[a]]<dep[top[b]])swap(a,b);
        s=s+search_irt(ROOT,1,tid[top[a]],tid[a]);
        a=fa[top[a]];
    }
    if(dep[a]>dep[b])swap(a,b);
    s=s+search_irt(ROOT,1,tid[a],tid[b]);
    return s;
}
inline int ssearch_maxx(node *ROOT,int a,int b)
{
    int s=0;
    while(top[a]!=top[b])
    {
        if(dep[top[a]]<dep[top[b]])swap(a,b);
        s=max(s,search_maxx(ROOT,1,tid[top[a]],tid[a]));
        a=fa[top[a]];
    }
    if(dep[a]>dep[b])swap(a,b);
    s=max(s,search_maxx(ROOT,1,tid[a],tid[b]));
    return s;
}
inline char get_char()
{
    char cu=getchar();
    while(cu<'A'&&cu>'Z')cu=getchar();
    return cu;
}
inline int getopt()
{
    char a=get_char(),b=get_char();
    if(a=='C')
    {
        if(b=='C')return 1;
        return 2;
    }
    else
    {
        if(b=='S')return 3;
        return 4;
    }
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(son,-1,sizeof(son));
    read(n),read(q);
    ini(1,1,n);
    for(rg int i=0;i<=2000000;i++)bin.push_back(&Q[i]);
    for(rg int i=1;i<=100000;i++)root[i]=new_node();
    for(rg int i=1;i<=n;i++)read(v[i]),read(fr[i]);
    for(rg int i=1;i<n;i++)
    {
        int a,b;read(a),read(b);
        addb(a,b),addb(b,a);
    }
    dfs1(1,0,1),dfs2(1,1);
    for(rg int i=1;i<=n;i++)
        insert(root[fr[i]],1,tid[i],v[i]);
    for(rg int i=1;i<=q;i++)
    {
        int opt=getopt(),ll,rr;read(ll),read(rr);
        if(opt==1)
        {
            del(root[fr[ll]],1,tid[ll]);
            if(root[fr[ll]]==0)root[fr[ll]]=new_node();
            fr[ll]=rr;
            insert(root[fr[ll]],1,tid[ll],v[ll]);
        }
        else if(opt==2)
        {
            v[ll]=rr;
            insert(root[fr[ll]],1,tid[ll],v[ll]);
        }
        else if(opt==3)print(ssearch_irt(root[fr[ll]],ll,rr)),putchar('\n');
        else print(ssearch_maxx(root[fr[ll]],ll,rr)),putchar('\n');
    }
    return flush(),0;
}

結語

動態開點線段樹其實是一個很好用的技巧，就算加一個分配、回收記憶體的東西也不難，具體一定要用分配回收記憶體的題呢，我做到過，具體在這裡我就不介紹了