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• 題目連結：
• 思路：
• 怎麼快速知道有多少個sum[l-1]滿足sum[r]-sum[l-1]的第k位是1
• （一）分類討論
• （二）用不等式

題目連結：

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4888

思路：

先求個字首和，區間的和就是sum[r]-sum[l-1]，固定列舉r，如果能夠有辦法快速知道有多少個sum[l-1]滿足sum[r]-sum[l-1]的第k位是1的話，那就能夠解決了，如果統計出來是奇數個，那最後答案的第k位就是1

怎麼快速知道有多少個sum[l-1]滿足sum[r]-sum[l-1]的第k位是1

（一）分類討論

①：sum[r]和sum[l-1]的第k位都是1的時候

就比如圖上這個，6的第2位是1，3的第2位是1，但減了之後的結果還是1，至於為什麼自己算算就知道了

②：sum[r]的第k位是1，sum[l-1]的第k位是0

③：sum[r]的第k位是0，sum[l-1]的第k位是1

④：都是0的情況

#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1e6+
 
5;
const int MOD=1e9+7;
int tree[2][maxn];
int sum[maxn],P[maxn];
int N;
void Add(int pos,int v,int cmd)
{
	if(pos<1)return ;
	for(int i=pos; i<=N; i+=i&-i)tree[cmd][i]+=v;
}
int getsum(int pos,int cmd)
{
	int res=0;
	for(int i=pos; i>0; i-=i&-i)res+=tree[cmd][i];
	return res;
}
int solve
 
()
{
	
	int res=0;
	for(int k=0; k<=20; k++)
	{
		int cnt[2]={0};//記錄第k為是1和是0的個數 
		int tp=0;
		memset(tree,0,sizeof tree);
		for(int i=1; i<=N; i++)P[i]=sum[i]%(1<<(k));//0也要算進去 
		sort(P+1,P+1+N);
		int n=unique(P+1,P+1+N)-(P+1);
		for(int i=1; i<=N; i++)
		{
			int now=sum[i];
			int pos=lower_bound(P+1,P+1+n,now%(1<<k))-P;
			int cmd=(now>>k)&1;			
			int mi0=getsum(pos,0);//第k位是0，且小於等於now%(1<<(k))的個數 
			int mi1=getsum(pos,1);//第k位是1，且小於等於now%(1<<(k))的個數
			int mx0=cnt[0]-getsum(pos,0);//第k位是0，且大於now%(1<<(k))的個數
			int mx1=cnt[1]-getsum(pos,1);//第k位是1，且大於now%(1<<(k))的個數
			if(cmd)tp+=mx1+mi0;
			else tp+=mi1+mx0;
			if(cmd)tp++;//sum[i]-sum[0]這段
			cnt[cmd]++;
			Add(pos,1,cmd);
		}
		if(tp&1)res|=(1<<k);
	}
	return res;
}
int main()
{
	while(cin>>N)
	{
		for(int i=1; i<=N; i++)
		{
			scanf("%d",sum+i);
			sum[i]+=sum[i-1];
		}
		cout<<solve()<<endl;
	}
}

（二）用不等式

第k位是1，是不是就相當於 $(sum[r]-sum[l-1])\% 2^{k+1}\ge 2^k$
相當於要找滿足 $(sum[r]-X)\% 2^{k+1}\ge 2^k$的 $X\%2^{k+1}$的數量
所以先拆開來看：
$sum[r]\% 2^{k+1}-X\% 2^{k+1}\ge2^k$
①：正常的那種
比如 $(11-5)\%4\ge 2$
拆開後：
$11\%4-5\%4\ge2$
變成
$3-1\ge 2$
就還是成立

所以這種直接就是變形成：
$X\%2^{k+1}\le sum[r]\%2^{k+1}-2^k$

②：不正常的那種
比如 $(12-5)\%4\ge 2$
拆開後：
$12\%4-5\%4\ge2$
變成
$0-1\ge 2$
就不成立了
所以此時左邊就還要加上 $2^{k+1}$才成立
所以這種情況就是
$sum[r]\%2^{k+1}-X\%2^{k+1}+2^{k+1}>=2^k$
變哈形就是：
$X\%2^{k+1}\le sum[r]\%2^{k+1}+2^k$
而這種不正常的情況的條件就是 $X\%2^{k+1}\ge sum[r]\%2^{k+1}$
所以這種情況的 $X$就是夾在中間的：
$sum[r]\%2^{k+1}\le X\%2^{k+1}\le sum[r]\%2^{k+1}+2^k$

#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1e6+5;
const int MOD=1e9+7;
int tree[maxn];
int sum[maxn],P