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問題：求1到n這n個整數間的異或值，即 1 xor 2 xor 3 ... xor n

記 f(x, y) 為x到y的所有整數的異或值。

對 f(2^k, 2^(k+1) -1) (注意文章中的 ^ 表示的是“冪”，xor 表示“異或”，or 表示“或”)：

2^k 到 2^(k+1) -1 這2^k個數，最高位（+k位）的1個數為2^k，

若 k >= 1，則2^k為偶數，將這2^k個數的最高位(+k位)去掉，異或值不變。

因而 f(2^k, 2^(k+1) -1) = f(2^k - 2^k, 2^(k+1) -1 -2^k) = f(0, 2^k -1)

因而 f(0, 2^(k+1) -1) = f(0, 2^k -1) xor f(2^k, 2^(k+1) -1) = 0 (k >= 1)

即 f(0, 2^k - 1) = 0 (k >= 2)

對 f(0, n)  (n >= 4) 設n的最高位1是在+k位(k >= 2)，

f(0, n) = f(0, 2^k - 1) xor f(2^k, n) = f(2^k, n)

對2^k到n這n+1-2^k個數，最高位(+k位)共有 m = n+1-2^k 個1,去除最高位的1

當n為奇數時，m是偶數，因而 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k)

由於n - 2^k 與 n同奇偶，遞推上面的公式，可得：f(0, n) = f(0, n % 4)

當 n % 4 == 1 時， f(0, n) = f(0, 1) = 1

當 n % 4 == 3 時， f(0, n) = f(0, 3) = 0

當n為偶數時，m是奇數，因而 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k)  or  2^k

也就是說，最高位1保持不變，由於n - 2^k 與 n同奇偶，遞推上面的公式，

可得：f(0, n) = nn or  f(0, n % 4)   (nn為 n的最低2位置0)

當 n % 4 == 0 時， f(0, n) = n

當

綜上所述：

f(1, n)  =  f(0, n)  =

   n      n % 4 == 0

   1      n % 4 == 1

   n +1   n % 4 == 2

0      n % 4 == 3

程式碼：

unsigned xor_n(unsigned n)

{

unsigned t = n & 3;

if (t & 1) return t / 2u ^ 1;

return t / 2u ^ n;

}