算術基本定理，又稱為正整數的唯一分解定理，即：每個大於1的自然數，若不是本身就是質數，就是可寫為2個以上的質數的積，而且這些質因子按大小排列之後，寫法僅有一種方式。例如:{\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}}，{\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}}。

算術基本定理的內容由兩部分構成：

• 分解的存在性：
• 分解的唯一性，即若不考慮排列的順序，正整數分解為素數乘積的方式是唯一的。

算術基本定理是初等數論中一個基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。

證明[

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算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。準確的說，歐幾里得證明了在一般整環上看與算術基本定理等價的命題：若質數{\displaystyle p|ab}，則不是 {\displaystyle p|a}，就是{\displaystyle p|b}。然而，在歐幾里得的時代，並沒有發展出冪運算和指數的寫法，甚至連四個整數的乘積這種算式都被認為是沒有意義的，所以歐幾里得並沒有給出算術基本定理的現代陳述。

必然性[編輯]

用反證法：假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為n。

自然數可以根據其可除性（是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積）分成3類：質數、合數和1。首先，按照定義，{\displaystyle n}

大於1。其次，{\displaystyle n}不是質數，因為質數{\displaystyle p}可以寫成質數乘積：{\displaystyle p=p}，這與假設不相符合。因此{\displaystyle n}只能是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於1的自然數的積。設{\displaystyle n=a\times b}，其中{\displaystyle a}和{\displaystyle b}都是介於1和{\displaystyle n}之間的自然數，因此，按照{\displaystyle n}的定義，{\displaystyle a}和{\displaystyle b}都可以寫成質數的乘積。從而{\displaystyle n=a\times b} 也可以寫成質數的乘積。由此產生矛盾。因此大於1的自然數必可寫成質數的乘積。

唯一性[編輯]

引理：若質數{\displaystyle p|ab}，則不是 {\displaystyle p|a}，就是{\displaystyle p|b}。

引理的證明：若{\displaystyle p|a} 則證明完畢。若{\displaystyle p\nmid a}，那麼兩者的最大公約數為1。根據裴蜀定理，存在{\displaystyle (m,n)} 使得{\displaystyle ma+np=1}。於是{\displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp}。 由於{\displaystyle p|ab}，上式右邊兩項都可以被p整除。所以{\displaystyle p|b}。

再用反證法：假設有些大於1的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積，那麼假設{\displaystyle n}是最小的一個。

首先{\displaystyle n}不是質數。將{\displaystyle n}用兩種方法寫出：{\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} 。根據引理，質數{\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} ，所以{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}} 中有一個能被{\displaystyle p_{1}}整除，不妨設為{\displaystyle q_{1}}。但{\displaystyle q_{1}}也是質數，因此{\displaystyle q_{1}=p_{1}} 。所以，比{\displaystyle n}小的正整數{\displaystyle n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}}也可以寫成{\displaystyle q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} 。這與{\displaystyle n} 的最小性矛盾！

因此唯一性得證。

相關[編輯]

在一般的數域中，並不存在相應的定理；事實上，在虛二次域 {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-D}})\quad (D\in \mathbb {N} )} 之中，只有少數幾個能滿足，最大的一個 {\displaystyle D} 是 {\displaystyle D=163}。例如，{\displaystyle 6}可以以兩種方式在 {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} 中表成整數乘積：{\displaystyle 2\times 3} 和 {\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}。同樣的，在分圓整數中一般也不存在唯一分解性，而這恰恰是人們在證明費馬大定理時所遇到的陷阱之一。

歐幾里得在普通整數 {\displaystyle \mathbb {Z} } 中證明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積，高斯則在復整數 {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 中得出並證明，只要不計四個可逆元素 {\displaystyle (\pm 1,\pm i)} 之作用，那麼這個唯一分解定理在 {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。

高斯類數[編輯]

對於二次方程：{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}，它的根可以表示為： {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}

因為負數不能開平方，{\displaystyle b^{2}-4ac}的符號就很重要，如果為正，有兩個根；如果為0，只有一個根；如果為負，沒有實根。尤拉的素數公式：{\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)} {\displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163} 兩個複數解為: {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}}

{\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}哪個{\displaystyle d}值可以得到唯一分解定理？ {\displaystyle d=1,2,3}皆可得到定理，但當{\displaystyle d=5}時不能。因為在這個數系中6這個數有兩種形式的因子分解（分解至不可分約的情形）。 {\displaystyle 6=2\times 3}；{\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}。在高斯時代，已知有9個{\displaystyle d}使得{\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}所產生的數有唯一因子分解（{\displaystyle a}，{\displaystyle b}如上面指出那樣取值）。 {\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}高斯認為{\displaystyle d}的數量不會超過10個，但是沒有人能夠證明。 1952年，業餘數學家，退休的瑞士工程師庫爾特·黑格納（Kurt Heegner）發表了他的證明，聲稱第10個高斯類數不存在。但是沒有人相信他。世界又等待了15年之後才知道這個定理：麻省理工學院的斯塔克（Harold Stark）和劍橋大學的阿蘭貝克（AlanBaker）獨立用不同方法證明了第10個{\displaystyle d}值不存在。兩個人重新檢查了希格內爾的工作，發現他的證明是正確的。 為了紀念長期被忽視的希格內爾，上述的9個數被稱為黑格納數，一些曲線上的點被命名為希格內爾點。 參見《數學新的黃金時代》和其它數學書籍。