LightOJ 1236 Pairs Forming LCM

題意：

long long pairsFormLCM( int n ) {
    long long res = 0;
    for( int i = 1; i <= n; i++ )
        for( int j = i; j <= n; j++ )
           if( lcm(i, j) == n ) res++; // lcm means least common multiple
    return res;
}

在n<=10^14的情況下實現上述程式碼。

思路：

前些天還寫過一題算術基本定理的題解，現在發現理解還不夠透徹，比如這題按理來說應該是算術基本定理的模板題，但我居然沒看出來。。
求約數，倍數，質因數，gcd，lcm，都應該想到這個定理的。
算術基本定理的內涵用一句話來概括就是：

一個數的每一個質因子的不同冪對應不同的因數。

而這題，我們假設( a , b ) = n ，那麼：

程式碼：

/*
* @author FreeWifi_novicer
* language : C++/C
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
 

#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>

using namespace std;

#define clr( x , y ) memset(x,y,sizeof(x))
#define cls( x ) memset(x,0,sizeof(x))
#define pr( x ) cout << #x << " = " << x << endl 
#define pri( x ) cout << #x << " = " << x << " " 
#define test( t ) int t ; cin >> t ; int kase = 1 ; while( t-- )
#define out( kase ) printf( "Case %d: " , kase++ )
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
typedef long long lint;
typedef long long ll;
typedef long long LL;

const int maxn = 1e7 + 50 ;
bool noprime[maxn+50] ;
vector<int>p ;
int getPrime(){
    cls( noprime ) ;
    p.clear() ;
    int m = (int)sqrt( maxn + 0.5 ) ;
    for( int i = 2 ; i <= m ; i++ )
        if( !noprime[i] )
            for( int j = i * i ; j <= maxn ; j += i )
                noprime[j] = true ;
    for( int i = 2 ; i <= maxn ; i++ )
        if( !noprime[i] ) p.pb( i ) ;
    return p.size() ;
}

int pf[100][2] ;
 
 

            
  
           

              
              
            
            
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LightOJ-1236- Pairs Forming LCM （算術基本定理）
     
  
 
  
  
 原題連結： Find the result of the following code: 
 long long pairsFormLCM( int n ) { long long res = 0; for( int i = 1; i <= n; i++ ) for( int j  

  
 

    

    
    
LightOJ 1236 Pairs Forming LCM（算術基本定理）
     
 
								
								            
							
							
							LightOJ 1236 Pairs Forming LCM



題意：



long long pairsFormLCM( int n ) {
    long long res = 0;
    

  
 

    

    
    
LightOJ 1236 Pairs Forming LCM（算數基本定理）
     
 i+1   clas   while   包含   兩個   min   family   clu   eof    
題意：在a,b中(a,b<=n)(1 ≤ n ≤ 1014),有多少組(a,b)  (a<b)滿足lcm(a,b)==n;
 
先來看個知識點：
素因子分解：n = p1 ^ e 

  
 

    

    
    
LightOJ 1236 Pairs Forming LCM（唯一分解定理）
     
 
								
								            
							
							
							題目分析


  思路：把n分解成素因數的形式n=p1^c1+p2^c2+…pm^cm 
  假設已找到一對（a，b）的lcm=n 
  有a=p1^d1+p2^d2+…pm^dm 
  b=p1^e1 

  
 

    

    
    
uva 10791 Minimum Sum LCM（算術基本定理）
     
 
                

大意：給出一個數字n，LCM(q1,q2,……,qk)=n，求解q1,a2……qk的最小和。
分析：剛開始讀錯題了（又讀錯T_T），是一系列的數字之和。
由算術基本定理，，同時,發現如果，是最小的，也就是說如果是由產生的，那麼積是最小的，同時是一定的。比如，得到：
那麼和 

  
 

    

    
    
LightOJ-1336-Sigma Function （算術基本定理）
     
  
 
  
  
 原題連結： Sigma function is an interesting function in Number Theory. It is denoted by the Greek letter Sigma (σ). This function actually denotes th 

  
 

    

    
    
LightOJ 1341 Aladdin and the Flying Carpet（算術基本定理）
     
 
								
								            
							
							
							LightOJ 1341 Aladdin and the Flying Carpet



題意：


  輸入一個矩形面積，以及矩形邊長的最小值，已知矩形不是正方形，求有多少種邊長組合。




思路 

  
 

    

    
    
hdu4479 （數學題）（算術基本定理）
     
 題目大意 
給定一個三元組\((x,y,z)\)的\(gcd\)和\(lcm\)，求可能的三元組的數量是多少，其中三元組是的具有順序的 
其中\(gcd\)和\(lcm\)都是32位整數範圍之內 
由算術基本定理可以得知： 如果$k=gcd(m,n) \(則\) k_p=min(m_p,n_p)$ 
如果\( 

  
 

    

    
    
UVA 10791——Minimum Sum LCM （算數基本定理）
     
 
                
    題目連結
    題目大意 : 給你一個數n，讓你將這個數分解成至少兩個數，對每一個分解式進行求和，算出其中最小的那一個。
    為什麼按照算數基本定理算出來的數字就是最小的吶：因為每一個數字都可以運用算數基本定理進行分解，如果所用的因數不是所分解的這些質數，那麼 

  
 

    

    
    
Aladdin and the Flying Carpet（算術基本定理）
     
 
It's said that Aladdin had to solve seven mysteries before getting the Magical Lamp which summons a powerful Genie. Here we are concerned about the first  

  
 

    

    
    
Pairs Forming LCM （素數，唯一分解定理）
     
 
								
								            
							
							
							題目來源：https://vjudge.net/problem/LightOJ-1236 
【題意】 
求a,b的最小公倍數是n的個數。 
【思路】 
想到了素數，想到了唯一分解定理，但是唯獨沒有想到最 

  
 

    

    
    
lightoj 1236  pairs of lcm
     
 
Find the result of the following code:

longlongpairsFormLCM(intn){ longlongres=0; for(inti=1;i<=n;i++) for(intj=i;j<=n;j++)if( lcm(i,j)
 == n ) res 

  
 

    

    
    
Aladdin and the Flying Carpet LightOJ - 1341（算數基本定理）
     
  
 
 題目連結：qaq 
   
 題意：找出符合的因子對數的個數 
   
 思路：知道算數基本定理後就簡單了（感覺和暴力的複雜度一樣啊QAQ。。難受） 
   
 附上程式碼： 
 #include<cstdio>
#include<cmath>
 

  
 

    

    
    
Pairs Forming LCM 【唯一分解定理】
     
 
								
								            
							
							
							

題意：問你滿足lcm(i,j)=n(i<=j)的(i,j)有多少對。

思路：這東西肯定要先搞下質因子。由於n<=1014，那麼我們預處理質因子到107就OK了，最後>=107的質 

  
 

    

    
    
LightOJ 1341(Aladdin and the Flying Carpet )算術基本定理
     
 star   rect   out   post   number   text   ask   OS   約數   It‘s said that Aladdin had to solve seven mysteries before getting the Magical Lamp which summon 

  
 

    

    
    
H - Pairs Forming LCM(唯一分解定理)
     
 align   urn   RM   ctu   rim   tin   div   ans   mes   Find the result of the following code:

long long pairsFormLCM( int n ) {    long long res = 0;    f 

  
 

    

    
    
H - Pairs Forming LCM
     
  
 
 題目連結：https://cn.vjudge.net/contest/70017#problem/H 
 題目大意：給你一個數ｎ，讓你在ｎ中找一對ａ，ｂ兩個值且a<b，使得ａ和b的最大公倍數是ｎ。 
 題解：唯一分解定理，把每一個ａ和ｂ分解成以素數為因子的乘積（算數基本定理那樣），需要取每一個 

  
 

    

    
    
算術基本定理（維基百科）
     
  
 
 算術基本定理，又稱為正整數的唯一分解定理，即：每個大於1的自然數，若不是本身就是質數，就是可寫為2個以上的質數的積，而且這些質因子按大小排列之後，寫法僅有一種方式。例如:{\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}}，{\displaystyle 12 

  
 

    

    
    
Pairs Forming LCM
     
 
                

題目大意：給你一個數ｎ，讓你在ｎ中找一對ａ，ｂ兩個值且a<b，使得ａ和b的最大公倍數是ｎ。

題解：唯一分解定理，把每一個ａ和ｂ分解成以素數為因子的乘積（算數基本定理那樣），需要取每一個素數因子的指數最大的那素因子然後相乘，使得到的數為ｎ。

例如a=a1^e1*a 

  
 

    

    
    
【題解】LightOJ1236 Pairs Forming LCM  唯一分解定理+線性篩
     
 
							
							
							題目連結 




Input

Input starts with an integer T (≤ 200), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containin