1. Fourier變換
   Fourier變換最開始由傅立葉提出，當時為了解決熱力學問題。後來經過發展形成了一套完整的理論，應用在物理學、訊號學等很多方面。如果一個函式滿足絕對可積條件，即：
   
   因為計算機處理的是離散值，要求對f(x)和F(w)都取樣，這時Fourier變換被稱為離散Fourier變換（DFT），為：
   
   求出離散Fourier變換需要的計算次數很多，為了降低計算量，可以利用快速Fourier變換方法（FFT），其利用了相位因子對稱性和週期性：
   
   將f(n)拆分為兩部分，分別計算這兩部分DFT，然後每個部分再進行拆分，直到不能再進行拆分為止。
   
   由於A(k)和B(k)是關於N/2週期對稱，所以有：
   
   
   然後一直不斷進行分割。這樣可以大大降低計算量。
   附上MATLAB程式碼：

function y=FFT_recur(x)

N=length(x);

x1=zeros(1,N/2);
x2=zeros(1,N/2);

y=zeros(1,N);

%split x into two space: odd and even
for j=1:N
   if mod(j,2)==0
       x1(j/2)=x(j);
   else
       x2((j+1)/2)=x(j);
   end
end


if N==2
    y(1)=x(1)+x(2);
    y(2)=x(1
 
)-x(2);
else
    x_a=FFT_recur(x1);
    x_b=FFT_recur(x2);
    for k=1:N/2
        y(k)=x_a(k)+exp(-i*2*pi*(k-1)/N)*x_b(k);
        y(k+N/2)=x_a(k)-exp(-i*2*pi*(k-1)/N)*x_b(k);
    end
end

1. 二維影象頻率濾波
   頻率域濾波方法有很多，主要是濾除某種頻率成分，從濾除成分來看分為低通濾波、高通濾波、帶通濾波等，技術手段上看有理想低通濾波、ButterWorth濾波，高斯濾波等。
   現在分別討論這三種濾波器。低通濾波器可以表示為在某一個頻率範圍是1，而之外為0。對於一幅影象，其中心頻率位於DFT變換函式的矩形中心，即F(k,l)中心(N/2,M/2)，則理想低通表示為：
   
   
   對於理想低通濾波器，其Fourier反變換函式為sinc函式，其圖形如下
   
   圖1 理想低通濾波器
   低通濾波器頻率域相乘，在空間域為卷積，上述函式在和DFT變換前函式卷積時，其邊瓣會造成振鈴。
   為了消除邊瓣的波動，產生了ButterWorth和高斯濾波，當然也是因為理想低通濾波無法在物理上實現。而ButterWorth濾波器為
   
   MATLAB實現程式碼如下：

function ifft_image=filter_frequency(image,mode,mode_parameter)

%fourier transformation
fft_image=fft2(image);
fft_image=fftshift(fft_image);

[row,col]=size(fft_image);
filter_temp=zeros(row,col);

%Low Pass filter
if strcmp(mode,'LowPass')

    for i=1:row
        for j=1:col
            if sqrt((i-row/2)^2+(j-col/2)^2)<=mode_parameter
                filter_temp(i,j)=1;
            else
                filter_temp(i,j)=0;
            end
        end
    end

%Butter Worth filter with n=2    
elseif strcmp(mode,'ButterWorth')
    for i=1:row
        for j=1:col
            filter_temp(i,j)=1/(1+(sqrt((i-row/2)^2+(j-col/2)^2)/mode_parameter)^4);
        end
    end

%gaussion filter
elseif strcmp(mode,'Gaussion')
    for i=1:row
        for j=1:col
            filter_temp(i,j)=exp(-((i-row/2)^2+(j-col/2)^2)/(2*mode_parameter^2));
        end
    end

end

fft_image=fft_image.*filter_temp;

fft_image=ifftshift(fft_image);
ifft_image=ifft2(fft_image);
ifft_image=abs(ifft_image);

1. 結果
   
   圖2 （a）原始1024x1024影象 （b）加入了週期噪聲
   
   圖3 低通濾波 （a）D0=100 （b）D0=300
   
   圖4 ButterWorth濾波 （a）D0=100 （b）D0=300
   
   圖5 高斯濾波 （a）D0=100 （b）D0=300