文章目錄

• 馬爾可夫隨機場
• 1. 引言
• 2. 團與極大團
• 3. MRF聯合概率
• 4. MRF的條件獨立性(有向分離)
• 條件隨機場

馬爾可夫隨機場

1. 引言

馬爾可夫隨機場(Markov Random Field，簡稱MRF)，是馬爾可夫網的一種，生成式模型，是一種著名的無向圖模型。圖中每個節點表示一個或一組變數，結點之間的邊表示兩個變數之間的依賴關係。馬爾科夫隨機場有一組勢函式，非負實函式，主要用於定義概率分佈函式。

2. 團與極大團

對於一個馬爾科夫隨機場圖中的結點的一個子集，若其中任意兩節點鍵都有邊連線，則成結點子集為一個團。
若在一個團中加入另外任何一個結點都不在形成團，責成該團為極大團。

3. MRF聯合概率

MRF中，多變數之間的聯合概率分佈能基於團分解為多個因子的乘積，每個因子僅與一個團相關。具體來說，對n個變數 $\{x_1,$

x 2 . . . , x n } \{x_1,x_2...,x_n\} 所有團構成集合為C，與團 $Q\epsilon C$對應的變數集合記為 $x_Q$，則聯合概率 $P(X)$為: $P(X)=\frac {1}{Z} \prod_{Q\epsilon C}\psi_Q(x_Q)$其中 $\psi_Q$為與團Q對應的勢函式，用於對團Q中的變數關係進行建模， $Z=\sum_x \prod_{Q\epsilon C}\psi_Q(x_Q)$為規範化因子，以確保P(x)是被正確定義的概率。
很顯然，若變數個數較多，則團的數目將會很多，這就會帶來計算負擔。注意到若團Q不是極大團冊必被一個極大團 $Q^*$所包含，這就意味著 $x_Q$之間的關係不僅體現在勢函式 $\psi_Q$中還體現在 $\psi_Q^*$中於是聯合概率P(X)可基於極大團來定義，假定所有極大團構成的集合為 $C^*$，則有 $P(X)=\frac {1}{Z^*} \prod_{Q\epsilon C^*}\psi_Q(x_Q)$，其中 $Z=\sum_x \prod_{Q\epsilon C^*}\psi_Q(x_Q)$

4. MRF的條件獨立性(有向分離)

在f給定的情況下，判斷a和b的獨立性。我們把a，e，c當做一個整體，由貝葉斯網路獨立性分析可知左半部分和b相互獨立，我們認為a和b獨立，通俗點說，這就是有向分離。
而對於MRF有：

• 全域性馬爾科夫性：給定兩個變數子集分離集，則這兩個變數子集條件獨立。

推論：

• 區域性馬爾可夫性：給定某變數的鄰接變數，則該變數獨立與其他變數。
• 成對馬爾科夫性：給定所有其他變數，兩個非鄰接變數條件獨立。

條件隨機場

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