​問題描述

按遞增順序依次列出所有分母為60，分子小於60的最簡分數。

問題分析

分子、分母只有公因數1的分數叫做最簡分數或者說分子和分母是互質數的分數，叫做最簡分數，又稱既約分數，如2/3，8/9，3/8等。

方法一：

求分子小於60的最簡分數，對分子採用窮舉的方法。根據最簡分數定義知：分子分母的最大公約數為1，利用最大公約數的方法，判定分子與60是否構成真分數。

方法二：

分子、分母的公因數只有1的分數為最簡分數，若分子、分母在1〜分子（num2）（題目要求分子小於60，分子、分母的公約數小於兩者中的任意一個）之間除了1之外還有其他的公因數，則此分數肯定不是最簡分數。

演算法分析

變數num1、num2分別儲存分母、分子的值。

方法一：

求最大公約數一般採用輾轉相除的思想，具體步驟如下。 1. 用較大的數num1除以較小的數num2，得到的餘數儲存到變數temp中，temp=num1%num2。

2. 上一步中較小的除數num2和得出的餘數temp構成新的一對數，並分別賦值給num1和num2，繼續做上面的除法。

3. 當num2為0時，num1就是最大公約數，否則重複步驟 1、2。

方法二 ：

分數的分子仍然採用窮舉法。對於每一個可能的分子，都要判斷在1〜num2範圍內，分數num1/num2除了1之外是否有其他的公因數，迴圈初值為2。

在2〜num2內若有一個數j能同時整除分子、分母，說明此分數不是最簡分數，j〜num2之間的數也無須再判斷，利用break語句結束迴圈。迴圈結束時j<num2。迴圈過程中若沒有一個數可以同時整除分子、分母即條件if(num1%j==0 && num2%j==0)不成立，則break語句不執行，迴圈正常結朿，即條件j<=num2不成立，迴圈結束時j>num2。利用j與num2的大小關係可判斷分數是否為最簡分數。

下面是方法一的完整程式：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int i, num1, num2, temp, n=0;  /*n記錄最簡分數的個數*/
    printf("分母是60的真分數有:\n");
    for(i=1; i<60; i++)  /*窮舉60以內的全部分子*/
    {
        num1 = 60;
        num2 = i;
        /*採用輾轉相除法求出最大公約數*/
        while(num2 != 0)
        {
            temp = num1 % num2;
            num1 = num2;
            num2 = temp;
        }
        if(num1 == 1)  /*若最大公約數為1，則為最簡真分數*/
        {
            n++;
            printf("%2d/60  ", i);
            if(n%8 == 0)  /*每行輸出8個數*/
                printf("\n");
        }
    }
 
    return 0;
}

下面是方法二的完整程式碼：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int i, num1, num2, j, n=0;  /*記錄最簡分數的個數*/
    printf("The fraction serials with demominator 60 is:\n");
    for(i=1; i<60;i++)  /*窮舉60以內的全部分子*/
    {
        num1 = 60;
        num2 = i;
        for(j=2;j<=num2; j++)
        /*判斷2～num2之間分子、分母是否有公約數，如果有j滿足條件，則結束迴圈，說明此時的分數不是最簡分數*/
            if(num1%j==0 && num2%j==0)
                break;
        if(j>num2)
        /*若j>num2說明2～num2之間沒有分子、分母的公約數，分數為最簡分數*/
        {
            printf("%2d/60", i);
            n++;
            if(n%8 == 0)
                printf("\n");
        }
    }
 
    return 0;
}

輸出結果：

分母是60的真分數有:
 1/60  7/60  11/60  13/60  17/60  19/60  23/60  29/60 
31/60  37/60  41/60  43/60  47/60  49/60  53/60  59/60