PageRank演算法簡介

最早的搜尋引擎採用的是分類目錄的方法，即通過人工進行網頁分類並整理出高質量的網站。當時的 Yahoo 和 hao123 就是使用的這種方法。
後來網頁越來越多，人工分類已經不現實了。搜尋引擎進入了 文字檢索 的時代，即計算使用者查詢關鍵詞與網頁內容的相關程度來返回搜尋結果。這種方法突破了數量的限制，但是搜尋結果不是很好。因為總有某些網頁來回地倒騰某些關鍵詞使自己的搜尋排名靠前。
谷歌的兩位創始人，當時還是美國斯坦福大學 (Stanford University) 研究生的佩奇 (Larry Page) 和布林 (Sergey Brin) 開始了對網頁排序問題的研究。他們的借鑑了學術界評判學術論文重要性的通用方法， 那就是看論文的引用次數。由此想到網頁的重要性也可以根據這種方法來評價。於是PageRank的核心思想就誕生了，非常簡單：

• 如果一個網頁被很多其他網頁連結到的話說明這個網頁比較重要，也就是PageRank值會相對較高
• 如果一個PageRank值很高的網頁連結到一個其他的網頁，那麼被連結到的網頁的PageRank值會相應地因此而提高

Simplified algorithm

PageRank演算法總的來說就是預先給每個網頁一個PR值（下面用PR值指代PageRank值），由於PR值物理意義上為一個網頁被訪問概率，所以一般是 $\frac{1}{N}$

$B_u$表示連結到 $u$的網頁的集合， $L(v)$表示節點 $v$的連出的邊的數目。

Damping factor

網際網路中一個網頁只有對自己的出鏈，或者幾個網頁的出鍊形成一個迴圈圈。那麼在不斷地迭代過程中，這一個或幾個網頁的PR值將只增不減，顯然不合理。為了解決這個問題，PageRank認為人們以一定概率隨機跳到任意一個網頁，那麼上面的等式就變為：
$PR(u)=\frac{1-d}{N}+\sum_{v\in B_u}\frac{PR(v)}{L(v)}$

Damping factor一般設為0.85，Bayesian analysis認為最優值為0.31。

Computation

冪迭代法

初始化： $PR(u;0)=\frac{1}{N}$
迭代： $PR(u;t+1)=\frac{1-d}{N}+\sum_{v\in B_u}\frac{PR(v;t)}{L(v)}$，也可以看成是矩陣乘法 $R(t+1)=dMR(t)+\frac{1-d}{N}$， $M=(K^{-1}A)^T$， $A$是連結矩陣， $K$是出度對角線矩陣。
終止條件： $|R(t+1)-R(t)|<\epsilon$

特徵值法

因為收斂之後， $R\approx MR$，所以 $R$為矩陣 $M$特徵值1對應的特徵向量。

代數法

因為 $R=dMR+\frac{1-d}{N}$，那麼 $R=(I-dM)^{-1}\frac{1-d}{N}$。

缺點

PageRank原理簡單但效果驚人。然而，PageRank演算法還是有一些弊端。
第一，沒有區分站內導航連結。很多網站的首頁都有很多對站內其他頁面的連結，稱為站內導航連結。這些連結與不同網站之間的連結相比，肯定是後者更能體現PageRank值的傳遞關係。
第二，沒有過濾廣告連結和功能連結（例如常見的“分享到微博”）。這些連結通常沒有什麼實際價值，前者連結到廣告頁面，後者常常連結到某個社交網站首頁。
第三，對新網頁不友好。一個新網頁的一般入鏈相對較少，即使它的內容的質量很高，要成為一個高PR值的頁面仍需要很長時間的推廣。
針對PageRank演算法的缺點，有人提出了TrustRank演算法。其最初來自於2004年斯坦福大學和雅虎的一項聯合研究，用來檢測垃圾網站。TrustRank演算法的工作原理：先人工去識別高質量的頁面(即“種子”頁面)，那麼由“種子”頁面指向的頁面也可能是高質量頁面，即其TR值也高，與“種子”頁面的連結越遠，頁面的TR值越低。“種子”頁面可選出鏈數較多的網頁，也可選PR值較高的網站。
TrustRank演算法給出每個網頁的TR值。將PR值與TR值結合起來，可以更準確地判斷網頁的重要性。

現狀

谷歌用PR值來劃分網頁的等級，有0~10級，一般4級以上的都是比較好的網頁了。谷歌自己PR值為9，百度也是9。
如今PR值雖不如以前重要了（沒有區分頁面內的導航連結、廣告連結和功能連結導致PR值本身能夠反映出的網頁價值不精確，並且對新網頁不友好），但是PR值還是個很重要的參考因素。

參考文獻：
PageRank演算法–從原理到實現
WIki