多目標進化演算法簡介
1、多目標優化的基本概念
多目標優化問題（MOP）可以被表示為：
subject to
其中，
Pareto支配：
Pareto最優解：
Pareto最優解集：
Pareto前沿面：
2、多目標進化演算法的基本流程
多目標進化演算法的種類很多，可以依據某一特徵將它們分門別類。基於不同的選擇機制，我們可以對其進行分類：
(1) 基於Pareto的方法（Pareto-based Approaches）
(2) 基於群體的方法（Population-based Approaches）
(3) 聚集函式（AggregatingFunctions）
為了深入理解進化演算法，我們給出了基於Pareto的MOEA的基本流程，如圖2.1所示。首先初始化種群P，然後選擇某一個進化演算法（如基於分解的多目標進化演算法，MOEA/D）對P執行進化操作（如選擇、交叉、突變），得到新的種群R。然後構造P∪R的最優解集Nset，我們將最優解集的大小設定為N，如果當前最優解集Nset的大小與N的大小不一致，那麼我們需要調整Nset的大小，同時必須注意調整過後的Nset需要滿足分佈性要求。之後判斷演算法終止條件是否已經被滿足，如果不滿足條件則將Nset中的個體複製到種群P中繼續下一輪的進化，否則結束。我們一般用演算法的迭代次數來控制它的執行。
在MOEA中，演算法收斂的必要條件同時也是一個極其重要的方面是保留上一代的最優解集並將其加入新一代的進化過程。這樣進化下去，進化種群的最優解集不斷向真正的Pareto前沿面收斂，最終得到令人滿意的進化結果。
3、多目標優化問題測試集
測試函式可以幫助我們更好地理解演算法的優點和缺點，因此測試函式的選擇對演算法效能的理解與判斷尤為重要。構造的簡單性、對決策變數和目標數目的可擴充套件性以及對應於演算法的收斂性與多樣性均要設障等是選擇測試函式時的重要參考依據。DTLZ測試集與WFG測試集是兩個經常使用的多目標優化問題測試函式集。
Deb等人在2002年首次提出DTLZ測試函式集，並以共同研究者名字首字母命名（Deb，Thiele，Laumanns，Zitzler），根據不同難度的設定期望，2005年Deb等又在原有七個函式的基礎上加入了兩個測試函式，共同組成了DTLZ測試函式集。DTLZ測試函式集可以擴充套件至任意數量的目標（m>=2）並且可以有任意數目個變數（n>=m）。因為變數數與目標數易於控制，所以DTLZ函式集被廣泛應用於多目標優化問題當中作為標準測試函式。
WFG測試函式集是Huband等人在2006年提出來的，一共包含9個測試問題，這些問題的目標數目都可以擴充套件到任意數量。和DTLZ測試函式集比起來，DTLZ問題的變數都是可分離的，因此複雜程度不高，而WFG測試問題的複雜程度更高、處理起來更具有挑戰性。WFG測試問題的屬性包括可分性或者不可分性、單峰或者多峰、PF形狀為凸或者非凸、無偏差引數或有偏差引數。WFG測試函式集可以提供更有效的依據來評估優化演算法在各種不同問題上的表現效能。
4、演算法效能評價指標
通常在分析MOEA的效能時，我們希望演算法在以下三個方面能夠具有較好的效能。
(1) 真實的Pareto前沿面PFtrue與演算法求解的得出的PFknown與之間的距離應該最小。
(2) 儘管搜尋到的解點只是部分解，但最後求得的解點在Pareto最優解集中該均勻分佈，在Pareto前沿面上的點也儘量呈現均勻分佈。
(3) 在整個前沿上應該能夠找出大量的解點，並且前沿上的各區域都應該有解點來代表，除非PFtrue上缺少這一區域。
我們一般認為上述指標當中的第一條是最重要的，因為MOEA的目標是找到一組近似解與真實前端的距離最近。
反向世代距離（Inverted GenerationalDistance）：代表真實且均勻分佈的Pareto最優解集P* 到演算法得到的最優解集P 的平均距離，定義如下：
其中，種群P中個體到個體v之間的最小歐幾里德距離用d(v,P)來表示；在真實PF上均勻選取一定數目的個體並將其用P*表示；該演算法求得的最優解集用P表示。IGD為演算法綜合性能評價指標，反映了演算法的分佈性和收斂性，它是越小越好的。IGD值很小，說明演算法求得的最優解集的分佈性和收斂性都好。
超體積HV（Hypervolume）：超體積指標度量的是通過多目標優化演算法獲得的非支配解集與參照點圍成的目標空間中的維區域的體積。超體積的數學表示如下：
其中δ代表Lebesgue測度，用來測量體積。|S|表示非支配解集的數目，vi表示參照點z*與解集中第i個解構成的超立方體。HV是一個有效的一元質量度量指標，在Pareto支配方面是嚴格單調的，HV的值越大，表示對應演算法的效能越好。此外，HV指標的計算不需要測試問題的理想PF，這一點在實踐應用中大大方便了HV的使用。不過，HV指標存在兩點限制：1）超體積的計算成本高；2）HV的值受選擇的參照點影響大。