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【省內訓練2018-11-25】Decomposition

【思路要點】

  • 考慮計算每一個數的貢獻,即列舉一個數 i i ,計算其在多少劃分中出現過。
  • 計算數 i i
    在多少劃分中出現過可以使用容斥原理。
  • 則有 A n s = i
    = 1 N j = 1
    M
    ( 1 ) j 1 ( M j ) f ( N i j , M j ) Ans=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}(-1)^{j-1}\binom{M}{j}f(N-ij,M-j)
  • 其中 f ( x , y ) f(x,y) 表示將 x x 劃分為 y y 個正整數的和的方案數,有 f ( x , y ) = { ( x 1 y 1 ) y 0 [ x = 0 ] y = 0 f(x,y)=\left\{\begin{array}{rcl}\binom{x-1}{y-1}&&{y\ne0}\\ [x=0]&&{y=0}\end{array} \right.
  • 將上式交換求和順序,有 A n s = j = 1 M ( 1 ) j 1 ( M j ) i = 1 N f ( N i j , M j ) Ans=\sum_{j=1}^{M}(-1)^{j-1}\binom{M}{j}\sum_{i=1}^{N}f(N-ij,M-j)
  • 展開 f ( x , y ) f(x,y) ,有 A n s = [ N   m o d   M = 0 ] ( 1 ) M 1 + j = 1 M 1 ( 1 ) j 1 ( M j ) i = 1 N ( N i j 1 M j 1 ) Ans=[N\ mod\ M=0]*(-1)^{M-1}+\sum_{j=1}^{M-1}(-1)^{j-1}\binom{M}{j}\sum_{i=1}^{N}\binom{N-ij-1}{M-j-1}
  • 注意到 i = 1 N ( N i j 1 M j 1 ) \sum_{i=1}^{N}\binom{N-ij-1}{M-j-1} 形如 i = 1 N ( a i + b c ) \sum_{i=1}^{N}\binom{ai+b}{c} ,是一個 c c 次多項式在 1 1 N N 處的點值和,可以表示為一個 c + 1 c+1 次多項式在 N N 處的點值。
  • 拉格朗日插值即可,注意我們只需求出其在 N N 處的點值,可以在 O ( M ) O(M) 的時間內完成。
  • 時間複雜度 O ( M 2 ) O(M^2)

【程式碼】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 5e6 + 5;
const int P = 998244353;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
ll n; int m;
int fac[MAXN], inv[MAXN];
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
void update(int &x, int y) {
	x += y;
	if (x >= P) x -= P;
}
int getc(int x, int y) {
	if (y > x) return