【思路要點】

• 先考慮一個子問題，在 $N*N$ 棋盤的主對角線及其右下方放置 $K$
  K 個不能互相攻擊的車，求方案數 $f(N,k)$
  f(N,k) 。考慮最後一行的放置情況，有遞推式 $f(N,k)$
  = f ( N − 1 , k ) + ( N − k + 1 ) ∗ f ( N − 1 , k − 1 ) f(N,k)=f(N-1,k)+(N-k+1)*f(N-1,k-1) 。觀察該遞推式的形式，不難發現其實際上等於第二類斯特林數 $S(N+1,N+1-k)$ 。
• 在本題中，首先，象的移動方式不會改變座標 $(x,y)$ 對應的 $x+y$ 的奇偶性，我們可以將這兩類座標分開處理，再將結果卷積起來，得到答案。
• 考慮 $x+y$ 為偶數的座標，我們將棋盤旋轉 $45$ 度，我們得到了一個類似於上述子問題的問題形式，每一行可以放入車的方格數為 $1,1,3,3,5,5,7,7,...$ ，換而言之，偶數行的主對角線上是不允許放入棋子的。
• 考慮對這條新加入的限制進行容斥，記 $M=\lfloor\frac{N}{2}\rfloor$ ，新問題的方案數為 $g(N,K)$ 。列舉強制放入棋子的方格數 $i$ ，則有 $g(N,k)=\sum_{i=0}^{M}(-1)^i\binom{M}{i}S(N-i+1,N-k+1)$ 。
• 展開斯特林數，有 $g(N,k)=\sum_{i=0}^{M}(-1)^i\binom{M}{i}\frac{1}{(N-k-1)!}\sum_{j=0}^{N-k+1}(-1)^{N-k+1-j}\binom{N-k+1}{j}j^{N-i+1}$ 。
• 交換求和順序，有 $g(N,k)=\frac{1}{(N-k-1)!}\sum_{j=0}^{N-k+1}(-1)^{N-k+1-j}\binom{N-k+1}{j}\sum_{i=0}^{M}(-1)^{i}\binom{M}{i}j^{N-i+1}$ 。
• 由二項式定理，有 $g(N,k)=\frac{1}{(N-k-1)!}\sum_{j=0}^{N-k+1}(-1)^{N-k+1-j}\binom{N-k+1}{j}(j-1)^Mj^{N-M+1}$ 。
• $NTT$ 對其卷積即可，時間複雜度 $O(NLogN$