文章目錄

• 1 題目
• 2 c++程式碼實現
• 2.0 程式目錄
• 2.1 虛擬碼
• 2.2 main.cpp
• 2.3 func.h
• 2.4 input.txt
• 2.5 output.txt
• 3 難點解析 -- func.h
• 3.1 對泰勒級數近似求解的原理與構造
• 3.2 降低數值計算中的誤差積累
• 4 誤差分析
• 4.1 計算機程式演算基本步驟：
• 4.2 存在的誤差
• 4.3 設計演算法過程中減小誤差的tips

1 題目

利用 n 階泰勒展開多項式 ${\sum }_{i=0}^x(\frac{x^{}}{}$

i i ! ) \sum_{i=0}^{x}(\frac{x^{i}}{i!}) ，計算函式 $f$

( x ) = e x f(x)=e^{x} 在給定點 $x$ 的值。
要求：絕對誤差在最大階數　 $MAXN$ 以內達到給定精度 $EPS$
使得： $|\sum_{i=0}^{x}(\frac{x^{i}}{i!})-e^{x}| < EPS$，並且 $n < MAXN$。

函式介面定義：double Exp_Calculate( double x )
其中 $x$ 為給定點，函式返回達到精度要求的近似 $e^{x}$ 的值。
常數 $MAXN$ 和 $EPS$ 在裁判程式中定義。
若無法在 $MAXN$ 次疊加內達到精度，則函式返回 $-1$ 。

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2 c++程式碼實現

2.0 程式目錄

2.1 虛擬碼

2.2 main.cpp

2.3 func.h

2.4 input.txt

2.5 output.txt

2.1 虛擬碼

================================================================================
虛擬碼：Exp_Calculate

輸入：函式近似求解的自變數

輸出：函式近似求解的因變數，若無法在 $MAXN$ 次疊加內達到精度，則函式返回 $-1$

================================================================================

01：init $temp$ , $pow$ , $factrial$ , $sum$

02： $temp \leftarrow |x|$

//累加求和，近似求解

03：for 　 $i=1$　 to 　 $MAXN$

04：　　 $pow \leftarrow x^{i}$

05：　　 $i! \leftarrow factrial$

06：　　 $sum \leftarrow \frac{pow}{factorial}$

07：end

08：if 　 $x < 0$ 　then

09：　　 $sum \leftarrow \frac{1}{sum}$

10：end if

11：if 　 $|sum - e^{x}| < EPS$ 　then

12：　　return 　sum

13：else

14：　　return　 -1

================================================================================

2.2 main.cpp

#include <cmath>
#include <iostream>

#define EPS 0.00001
#define MAXN 20

using namespace std;

double Exp_Calculate(double x);

int main()
{
    double x;

    freopen("test.txt", "r", stdin);

    while(scanf("%lf", &x) != EOF){
            //cin>>x
        printf("%.4lf\n", Exp_Calculate(x));
    }

    fclose(stdin);
    //關閉檔案

    return 0;
}

#include "func.h"

2.3 func.h

#ifndef FUNC_H_INCLUDED
#define FUNC_H_INCLUDED

double Exp_Calculate(double x){

    double pow = 1.0;
    double factorial = 1.0;
    double sum = 1.0;

    double temp=0;

    //化負為正
    //避免兩個較小數的相減
    if(x<0)
        temp = -x;
    else
        temp = x;

    //求taylor級數，近似求解
    for(int i=1;i<MAXN;i++){
        pow *= temp;
        factorial *= (double)i;
        sum += (pow)/factorial;
    }

    //再化負為正
    if(x<0)
        sum = 1.0/sum;


    if(abs(sum - exp(x)) < EPS)
        return sum;
    else
        return -1;
}


#endif // FUNC_H_INCLUDED

2.4 input.txt

1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 

2.5 output.txt

2.7183
7.3891
20.0855
54.5981
-1.0000
-1.0000
0.3679
0.1353
0.0498
0.0183
0.0067
0.0025

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3 難點解析 – func.h

3.1 對泰勒級數近似求解的原理與構造

要求：按照公式編寫即可，儘可能節約記憶體

3.2 降低數值計算中的誤差積累

避免：：小數減小數

根本原因：：計算機所使用二進位制01程式碼無法準確表示某些帶小數位的十進位制資料。

過程分析：：當x為負數時，在sum累加求和過程中，會出現小數減小數，從而造成誤差累計

解決方法：：將 $e^{-x}$ 轉化為計算 $e^{x}$ ，最後求得 $\frac{1}{e^{x}}$，即 $e^{-x}$，就可以減小誤差了

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4 誤差分析

4.1 計算機程式演算基本步驟：

1）建模：實際問題建立數學模型

2）數值化：將數學問題轉化為數值問題

3）演算法設計

4）根據演算法程式設計計算

4.2 存在的誤差

1）模型誤差（Modeling Error）：數學模型是對具體問題忽略次要因素進行抽象而獲得的，本身即是問題的近似，由此產生的誤差為模型誤差

2）觀測誤差（Observation Error）：數學模型中包含（依賴）的引數如溫度、密度、長度、時間、電壓等由人的觀測或工具測量獲得，與實際資料存在誤差，稱為觀測誤差

3）方法誤差（Method Error）（截斷誤差 Truncation Error））演算法中包含的計算公式如泰勒公式等本身是一種求解的近似（連續的離散化處理，無窮的有限話處理），由此產生的誤差稱為方法誤差或截斷誤差

4）舍入誤差（Roundoff Error）：計算機中的數（機器數）是具有有限精度的實數的有限子集，稱為浮點數（floating number），由於計算時的四捨五入，或者因計算機的字長有限而使原始資料只能用有限位數表示，由此產生的誤差為舍入誤差

4.3 設計演算法過程中減小誤差的tips

保證數值穩定性

（1）控制舍入誤差的傳播

（2）合理安排量級相差懸殊數間的運算次序，防止大數吃小數

（3）避免兩個相近數相減

（4）避免接近0的數左除數，防止溢位

（5）簡化計算步驟，減少運算次數

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Author

lance

2018·9·18