覺得這篇文章寫得特別勁，插圖非常便於理解。

目的：求字串中的最長迴文子串。

演算法思想

考慮維護一個數組$r[i]$代表迴文半徑。迴文半徑的定義為：對於一個以$i$為迴文中心的奇數迴文子串，設其為閉區間$[L,R]$，則半徑$r=R-i+1$。

$Manacher$演算法利用一個類似$DP$的方法來求解這個問題。考慮維護一個目前已經達到的最大的右邊界$P$，此右邊界對應的對稱中心以及左邊界分別為$pos$，$P'$。那麼分類討論：

1. $i<P$

此時我們可以找到$i$關於$pos$的對稱點$j$。由於$[P',P]$是迴文的，所以如果$j$的迴文子串不超過邊界，那麼有$r[i]=r[j]$。

如果$j$超過邊界了，說明至少區間內的那一段是能夠滿足的。因此$r[i] \geq P-i+1$。對於超出的部分，暴力比較（同時更新P）

2. $i \geq P$

此時根據前面的來轉移已經沒有意義了。直接暴力。

綜上我們已經可以求解出所有的$r[i]$了。那麼前面所說的迴文中心一定要是奇數的長度。能不能把偶數轉化為奇數？

答案是在任意兩個相鄰字元之間插入特殊符號進行間隔（包括開頭和結尾）。這樣就一定是奇數了。易知對於這種情況，對稱中心$i$對應的迴文串的長度也就是$r[i]-1$。

剛才是用數學角度在討論問題，如果程式碼也按照分類討論這個標準來實現未免有些冗長。考慮簡化問題。

既然$i \geq P$和$j$出界的情況都需要暴力匹配，不如合併到一起？我們發現只要我們確定$r[i]$的最小取值，然後不停增大$r[i]$判斷是否成立就好了。當$i \geq P$時，由於未知，最小值固然是1. 而對於$j$出界，最小值固然是$P-i+1$。因此問題就很簡單了

$code$

inline void Manacher(){
    int j=0,P=0,pos=0,p=0,N=0,n=strlen(t+1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        s[++N] = '$';
        s[++N] = t[i];
    }
    s[
 
++N] = '$';
    for(int i = 1; i < N; ++i){
        if(P > i) r[i] = Min(r[pos-(i-pos)], P-i+1); else r[i] = 1;
        while(s[i-r[i]] == s[i+r[i]] && i-r[i]>=1 && i+r[i]<=N) ++r[i];
        if(i+r[i]-1 > P) P = i+r[i]-1, pos = i;
        ans = Max(ans, r[i]-1);
    }
}