[SDOI2015]序列統計

題目描述

小C有一個集合\(S\)，裡面的元素都是小於\(M\)的非負整數。他用程式編寫了一個數列生成器，可以生成一個長度為\(N\)的數列，數列中的每個數都屬於集合\(S\)。小C用這個生成器生成了許多這樣的數列。但是小C有一個問題需要你的幫助：給定整數\(x\)，求所有可以生成出的，且滿足數列中所有數的乘積\(mod M\)的值等於\(x\)的不同的數列的有多少個。小C認為，兩個數列\({A_i}\)和\({B_i}\)不同，當且僅當至少存在一個整數i，滿足\(A_i≠B_i\)。另外，小C認為這個問題的答案可能很大，因此他只需要你幫助他求出答案\(mod \ 1004535809\)

輸入輸出格式

輸入格式：

一行，四個整數，\(N、M、x、|S|\)，其中\(|S|\)為集合S中元素個數。第二行，\(|S|\)個整數，表示集合\(S\)中的所有元素。

輸出格式：

一行，一個整數，表示你求出的種類數\(mod\ 1004535809\)的值。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

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4 3 1 2
1 2

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說明

【樣例說明】

可以生成的滿足要求的不同的數列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。

【資料規模和約定】

對於10%的資料，\(1\le N\le 1000\)；

對於30%的資料，\(3\le M\le 100\)；

對於60%的資料，\(3\le M\le 800\)；

對於全部的資料，\(1\le N\le 10^9，3\le M\le 8000，M為質數，1\le x\le M-1\)，輸入資料保證集合\(S\)中元素不重複

我們建構函式\(A(x)=\sum_{i}[i\in S]x^i\)，答案就是\(A\)自卷\(N\)次過後第\(x\)項的係數。

不過這個卷積不太尋常：\(\displaystyle c(x)=\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^M[i*j\% M==x]\cdot a(i)\cdot b(j)\)

除法非常難處理，於是我們考慮轉化為我們熟悉的加法。將乘法轉化為加法，很容易就想到質數函式。我們設冪為\(g\)，則\(g^{a*b}=g^a+g^b\)。我們對於沒個數\(i\)，我們取\(x\)為它的代表元，滿足\(g^x\%M==i\)。

考慮選取原根\(g\)，因為\(g^x\)在\(x\in[1,M-1]\)時兩兩不同。

於是我們將0捨去，然後就可以將乘法卷積轉化為加法卷積了。具體實現要用到快速冪，每次卷積一次後，要將下標\(x\ge M-1\)的部分的值累加在\(x-(M-1)\)下標的位置上。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXM 8005
#define mod 1004535809
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m,x,num;
ll ksm(ll t,ll x,ll M) {
    ll ans=1;
    for(;x;x>>=1,t=t*t%M)
        if(x&1) ans=ans*t%M;
    return ans;
}

ll Find(ll m) {
    if(m==2) return 1;
    for(int i=2;i<=m-1;i++) {
        int flag=1;
        for(int j=2;j*j<m;j++) {
            if(ksm(i,(m-1)/j,m)==1) {
                flag=0;
                break;
            }
        }
        if(flag==1) return i;
    }
}

int id[MAXM];
int rev[MAXM<<2];
void NTT(ll *a,int d,int flag) {
    static const ll G=3;
    int n=1<<d;
    for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int s=1;s<=d;s++) {
        int len=1<<s,mid=len>>1;
        ll w=flag==1?ksm(G,(mod-1)/len,mod):ksm(G,mod-1-(mod-1)/len,mod);
        for(int i=0;i<n;i+=len) {
            ll t=1;
            for(int j=0;j<mid;j++,t=t*w%mod) {
                ll u=a[i+j];
                ll v=t*a[i+j+mid]%mod;
                a[i+j]=(u+v)%mod;
                a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(flag==-1) {
        ll inv=ksm(n,mod-2,mod);
        for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
    }
}

ll a[MAXM<<2];
ll f[MAXM<<2],ans[MAXM<<2];
void mul(ll *a,ll *b,int d) {
    for(int i=0;i<(1<<d);i++) a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    NTT(a,d,-1);
    for(int i=0;i<m-1;i++) (a[i]+=a[i+m-1])%=mod,a[i+m-1]=0;
}

void ksm(int k) {
    ans[0]=1;
    int d=ceil(log2(m*2));
    for(;k;k>>=1) {
        if(k&1) {
            NTT(ans,d,1),NTT(f,d,1);
            mul(ans,f,d);
            NTT(f,d,-1);
        }
        NTT(f,d,1);
        mul(f,f,d);
    }
}

int main() {
    n=Get(),m=Get(),x=Get(),num=Get();
    ll g=Find(m);
    ll now=1;
    for(int i=0;i<m-1;i++) {
        id[now]=i;
        now=now*g%m;
    }
    int a;
    for(int i=1;i<=num;i++) {
        a=Get();
        if(a) f[id[a]]=1;
    }
    ksm(n);
    cout<<ans[id[x]];
    return 0;
}