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2018.12.31 bzoj3992: [SDOI2015]序列統計（生成函式+ntt+快速冪）

阿新 • • 發佈：2019-01-02

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生成函式簡單題。
題意：給出一個集合 A = { a 1 , a 2

, . . . a s } A=\{a_1,a_2,...a_s\}
，所有數都在 [ 0 , m − 1 ] [0,m-1] 之間， m m 是一個質數，求滿足全部由這個集合裡的組成且長度為 n n 且所有數之積與 x x 在模 m m 意義下相同的數列總數。

思路：對 a 1 , a 2 , . . , a s , x a_1,a_2,..,a_s,x 全部化成 g b 1 , g b 2 , . . . g b s , g y g^{b_1},g^{b_2},...g^{b_s},g^{y} ，然後就轉乘法為加法。
於是只用求 x 1 + x 2 + . . . + x n ≡ y m o d    m − 1 x_1+x_2+...+x_n\equiv y\mod m-1 ，其中 x i ∈ { b 1 , b 2 , . . . b s } x_i\in\{b_1,b_2,...b_s\} 的方案數。
對於 x i x_i 可以構造出生成函式 1 + x b 1 + x b 2 + . . . + x b s 1+x^{b_1}+x^{b_2}+...+x^{b_s} ，於是答案的生成函式就是 ( 1 + x b 1 + x b 2 + . . . + x b s ) n (1+x^{b_1}+x^{b_2}+...+x^{b_s})^n ，考慮到 n n 很大可以用快速冪+ n t t ntt 解決。
注意特判 a i = 0 a_i=0 的情況以及每次 n t t ntt 完了之後要重新把多項式的最高次數控制為 m − 2 m-2
程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
inline int read(){
	int ans=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans;
}
typedef long long ll;
const int N=3e6+5,mod=1004535809;
int M,lim=1,tim=0,pos[N],a[N],P,n,x,idx[N];
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
inline int ksm(int a,int p){int ret=1;for(;p;p>>=1,a=mul(a,a))if(p&1)ret=mul(ret,a);return ret;}
inline void ntt(int a[],int type){
	for(ri i=0;i<lim;++i)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
	for(ri wn,mult=(mod-1)>>1,typ=type==1?3:334845270,mid=1;mid<lim;mid<<=1,mult>>=1){
		wn=ksm(typ,mult);
		for(ri j=0,len=mid<<1;j<lim;j+=len)for(ri w=1,k=0,a0,a1;k<mid;++k,w=mul(w,wn)){
			a0=a[j+k],a1=mul(w,a[j+k+mid]);
			a[j+k]=add(a0,a1),a[j+k+mid]=dec(a0,a1);
		}
	}
	if(type==-1)for(ri inv=ksm(lim,mod-2),i=0;i<lim;++i)a[i]=mul(a[i],inv);
}
inline void poly_mul(int a[],int b[]){
	static int A[N],B[N];
	for(ri i=0;i<lim;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	ntt(A,1),ntt(B,1);
	for(ri i=0;i<lim;++i)A[i]=mul(A[i],B[i]);
	ntt(A,-1);
	for(ri i=0;i<lim;++i)a[i]=A[i];
	for(ri i=lim-1;i>=M-1;--i)a[i-M+1]=add(a[i-M+1],a[i]),a[i]=0;
}
inline void solve(int a[],int p){
	static int ret[N];
	memset(ret,0,sizeof(ret)),ret[0]=1;
	for(;p;p>>=1,poly_mul(a,a))if(p&1)poly_mul(ret,a);
	cout<<ret[x];
}
inline bool check(int g
            
  

           

              
              

            

            
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         =
        
        
         {
        
        
     



  
 

    


    
    
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							傳送門





由於沒有考慮n<=1的情況T了很久啊。

這題很有意思啊。
考試的時候根本不會，騙了30分走人。
實際上變一個形就可以了。
推導過程有點繁雜。
直接粘題解上的請諒解。

不得不說 



  
 

    


    
    
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　　純組合看起來不太行得通，換個思路，考慮一個顯然的dp，即設f[i][j][0/1]為前i為選了j個1其中第i位是0/1的方案數。這樣當然能求出答案，複雜度O(n2)。 
　　注意 



  
 

    


    
    
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　　題面：描述
Wenwen has a magical ball. Whe 



  
 

    


    
    
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 　　設f[i][j]為第i天到達j號城市的方案數，轉移顯然，答案即為每天在每個點的方案數之和。矩乘一發即可。 
 
 #include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
# 



  
 

    


    
    
【計蒜客】2018ICPC焦作賽區網路賽G Give Candies（小費馬定理+快速冪）

     
 
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【題意】

有n個小朋友，排隊從老師手中領取n個糖，先到的小朋友先得到若干個糖，直到糖分完，輸出有幾種分配方式。



【解題思路】

規律很好找，就是(2^n-1)%p，但是n太大了，需要用費馬小定理轉換一下。

費馬小定理：若gcd(a,p)=1，那麼

 



  
 

    


    
    
POJ 2778（AC自動機+矩陣快速冪）

     
 
                        非常有趣的一道題，題目給m個病毒串，問不包含病毒串的長度n的DNA片段有幾個。

        用病毒串構造AC自動機，用fail指標跑出字串狀態間的到達關係和危險點，危險點即到達即代表某串含有病毒的點。

        用AC自動機構造出矩陣，初始矩陣中 



  
 

    


    
    
第二次講課內容（函式和快速冪）

     
  
  
  
 函式 
 在c語言中 main() 就是一個函式，它是程式的主函式。 
 函式定義的一般格式： 
 返回型別 函式名(引數列表){
	函式體
}
 
 返回型別 
  
  一個函式可以返回一個值，返回型別就是對應的值的型別。常見的有int、long long、bool、double、flo 



  
 

    


    
    
HDU   4704  Sum （費馬定理+快速冪）

     
 
								
								            
						
                
Sum
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others)
Total Subm 



  
 

    


    
    
Luogu5162 WD與積木（生成函式+多項式求逆）

     
 　　顯然的做法是求出斯特林數，但沒有什麼優化空間。 
　　考慮一種暴力dp，即設f[i]為i塊積木的所有方案層數之和，g[i]為i塊積木的方案數。轉移時列舉第一層是哪些積木，於是有f[i]=g[i]+ΣC(i,j)·f[i-j]，g[i]=ΣC(i,j)·g[i-j] (j=1~i)。 
　　考慮優化 。我們 



  
 

    


    
    
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         f
        
        
         (
        
      



  
 

    


    
    
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題意：



"A fight? Count me in!" 要打架了，算我一個。

"Everyone, get in here!" 所有人，都過來！

小Y是一個喜歡玩遊戲的OIer。一天，她正在