第一個問題：我們都知道一個二進位制8位能表示的最大值是 1111 1111 == 255，但為什麼最大表示到127？

因為對於計算機來說，一個二進位制的數字它的最高位是符號位，0表示正數，1表示負數。
所以 1111 1111 表示的 -127， 而 0111 1111 表示的是127，範圍區間應該是[-127,127]之間。那麼第二個問題來了

第二個問題：我們都知道一個Byte能表達的數字範圍是[-128,127]，那麼這個-128是怎麼來的呢？

這裡面就涉及到計算機的原碼、反碼、和補碼的相關知識了。

正數：

原碼 == 反碼 == 補碼
即：原：0000 0001 ----- 反： 0000 0001 ------ 補：0000 0001

負數：

反碼 == 原碼的非符號位取反
補碼 == 反碼+1

即 原： 1000 0001 ------ 反： 1111 1110 ------ 補： 1111 1111

原碼、反碼、補碼都可以表示同一個數字

計算機內部是用補碼來儲存一個數的

為什麼要用補碼來存呢？
既然規定了最高位是符號位，那麼對於一個人來說正常的加減一個數（比如： 0010 1101 + 0111 1100， 0001 1011 - 1011 0011）可以把這個二進位制轉成帶符號的十進位制自然進行加減。
而對於計算機來說，同樣需要識別符號位來判斷是要加還是要減，也就這樣勢必會加大計算機的複雜性。因此希望符號位也可以參與到運算中，也就是 100 - 50 == 100 + (-50)。把減法也可以轉化成加法。

這裡舉一個最簡單的例子：

1-1 == 1+(-1) == 0
那如果是兩個原碼相加是什麼樣的
0000 0001
+
1000 0001
=
1000 0010 == -2 結果肯定是不正確的

那如果兩個反碼相加
0000 0001
+
1111 1110
=
1111 1111 轉成原碼 就是 1000 0000 == -0 負0
結果沒有問題，但從數學的角度來說，一個整數包括負整數，0，正整數，而這裡出現了負0，-0和0其實都表示0，但是這裡從編碼來說卻出現了兩個值， 1000 0000 和 0000 0000

最後看下兩個補碼相加
0000 0001
+
1111 1111
=
0000 0000 （超過8位的值被截掉） 轉成原碼 還是 0000 0000 =0，
可以看出，結果不僅正確，還同時解決了正負0的問題。
而對於補碼的加運算來說，是不可能出現1000 0000的情況，因為兩數相加想出現1000 0000的情況，就必然是兩個正數相加（如 0000 0001 + 0111 1111 = 1000 0000），而兩個正數相加是肯定不會出現負數的，所以1000 0000這個數肯定不會相加出現。

因此計算機規定，補碼：1000 0000 就表示 -128

所以8位二進位制數可表達的範圍是[-2^7, 2^7-1]=[-128,127]
所以總結一下，補碼不僅能正確的運算，同時還可以多表示一個最低位，所以計算機用補碼來儲存數字。

同理，16位，32位等等的其他二進位制位的表示範圍也就是[-2^15, 2^15-1], [-2^31, 2^31-1]

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最後，如果是無符號的話，byte最大可以表示255的整數