實際工程中，很多用到平衡二叉查詢樹的地方都是紅黑樹。
==》為何是紅黑樹？而不是其他平衡二叉查詢樹？

• 其他二叉樹不適用於單次操作時間非常敏感的場景。
• AVL樹對於頻繁的插入、刪除操作的資料集合代價有些高==》紅黑樹維護成本比AVL要低
  

一、平衡二叉查詢樹

平衡二叉樹：二叉樹中任意一個節點的左右子樹的高度相差不能大於1。
完全二叉樹、滿二叉樹都是平衡二叉樹；但非完全二叉樹也可能是平衡二叉樹

AVL樹——最早被髮明的平衡二叉查詢樹

“平衡二叉樹”思想：解決普通二叉查詢樹在頻繁的插入、刪除等動態更新的情況下，出現時間複雜度退化的問題。
==》整棵樹左右更對稱些，不要出現左子樹很高、右子樹很矮的情況，相應的插入、刪除、查詢等操作的效率高一些。
==》設計新的平衡二叉樹，只要樹的高度不比log₂

1、紅黑樹(Red-Black Tree,簡稱R-B Tree)

• 紅黑樹是一種不嚴格的平衡二叉查詢樹

（1）紅黑樹：

• 根節點是黑色的；
• 每個葉子節點都是黑色的空節點（NIL），也就是說，葉子節點不儲存資料；
• 任何相鄰節點都不能同時為紅色，也就是說，紅色節點被黑色節點隔開的；
• 每個節點，從該節點到其可達葉子節點的所有路徑，都包含相同數目的黑色節點。
  

（2）高度分析

• 將紅色節點從紅黑樹中去掉，只留黑色節點
  ==》有些節點沒有父節點，它們會將這些節點的祖父節點作為父節點
  ==》會出現多叉樹(eg: 四叉樹的情況)
  ==》僅包含黑色節點的多叉樹的高度，比包含相同節點個數的完全二叉樹的高度要小

  。
  ==》去掉紅色節點的“黑樹”的高度不超過log₂n。
  

• 將紅色節點添加回去——紅色節點不能相鄰，也就是說有一個紅色節點就要至少有一個黑色節點，將其跟其他紅色節點隔開
  ==》高度不會超過2log₂n，也就是說，紅黑樹的高度近似2log₂n。

（3）小結

紅黑樹的高度只比高度平衡的AVL樹的高度（log₂n）僅僅大了一倍，在效能上，下降得並不多。

二、平衡調整

1、左旋（rotate left）和右旋（rotate right）

紅黑樹的插入、刪除操作會破壞紅黑樹的定義，也就是說，會破壞紅黑樹的平衡性。

左旋：圍繞某個節點的左旋。
右旋：圍繞某個節點的右旋。

2、插入操作的平衡調整

紅黑樹規定：插入的節點必須是紅色的，而且新插入的節點必須放在葉子節點上。

（1）兩種特殊情況：

• 若插入節點的父親節點是黑色的，則不需要做什麼。因為：它仍滿足紅黑樹的定義
• 若插入的節點是根節點，則直接改變其顏色，將其變為黑色。
• ==》其他情況，均違背紅黑樹的定義，則需要進行調整——左右旋轉、改變顏色

（2）平衡調整過程——迭代過程

關注關節：正在處理的節點。它會隨著不停地迭代處理，而不斷髮生變化。
==》最開始的關注節點就是新插入的接待呢

新節點插入後，若平衡被打破，則一般會出現下面三種情況：
（這裡，將父節點的兄弟節點稱為叔叔節點，父節點的父節點稱為祖父節點）

case1 : 若關注節點是 a，它的叔叔節點d是紅色，則

• 將關注節點 a 的父節點 b 、叔叔節點 d 的顏色均設定為黑色；
• 將關注節點 a 的祖父節點 c 的顏色設定為紅色；
• 關注節點變成 a 的祖父節點 c ；
• 跳轉case2 或者 case3
  

case2：若關注節點是a，它叔叔節點d是黑色，關注節點a是其父節點b的右子節點，則：

• 關注節點變為節點 a 的父節點 b；
• 圍繞新的關注節點 b 左旋；
• 跳轉 case3
  

case3：若關注節點是 a，它叔叔節點 d 是黑色，關注節點 a 是其父節點b的左子結點，則

• 圍繞關注節點 a 的祖父節點 c 右旋；
• 將關注節點 a 的父節點 b、兄弟節點 c 的顏色互換；
• 調整結束

3、刪除操作的平衡調整

思路：根據關注節點與周圍節點的排布特點，按照一定的規則去調整來達到平衡

刪除操作的平衡調整方法：

• 第一步，針對刪除節點初步調整。
  • 使其的每個節點，從該節點到達其可達葉子節點的所有路徑，都包含相同數目的黑色節點（紅黑樹定義中最後一條）
• 第二步，針對關注節點進行二次調整。
  • ==》不存在相鄰的兩個紅色節點（紅黑樹定義中第三條）

（1）針對刪除節點初步調整

注1：有些節點會被標記成兩種顏色，“紅 - 黑” 或 “黑 - 黑”。若標記為“黑 - 黑”，則在計算黑色節點個數時，要算成兩個黑色節點。
注2：畫圖時：若一個節點既可以是紅色，又可以是黑色==》用一半紅色一半黑色表示；若一個節點是“紅 - 黑”或“黑 - 黑”==》在左上角用小黑點表示額外的黑色。

case1：若要刪除的節點是 a，它只有一個子節點 b，則：

• 刪除節點a，並把節點 b 替換到節點 a 的位置；（同普通的二叉樹刪除操作一樣）
• 節點 a 只能是黑色，節點 b 也只能是紅色，其他情況均不符合紅黑樹定義。這種情況下，將節點 b 改為黑色。。
• 調整結束，不需要進行二次調整。
  

case2：若要刪除的節點 a 有兩個非空子節點，並且它的後繼節點就是節點 a 的右子節點 c，則

• 若節點 a 的後繼節點就是右子節點 c，那右子節點 c 肯定沒有左子樹。則把節點 a 刪除，並且將節點 c 替換到節點 a 的位置。（該部分與普通的二叉查詢樹的刪除操作相同）
• 然後將節點 c 的顏色設定為與節點 a 相同的顏色；
• 若節點 c 是黑色，為了不違反紅黑樹最後一條定義，將節點 c 的右子節點 d 多加一個黑色，此時節點 d 就成了“紅 - 黑”或“黑 - 黑”；
• 此時，關注節點變成節點 d，第二步的調整就針對關注節點進行操作
  

case3：若要刪除的是節點 a，有兩個非空子節點，並且節點 a 的後繼節點不是右子節點，則：

• 找到後繼節點 d，並將其刪除，刪除後繼節點 d 的過程參考 case 1；
• 將節點 a 替換成後繼結點 d；
• 把節點 d 的顏色設定為與節點 a 相同的顏色；
• 若節點 d 是黑色，將節點 d 的右子節點 c 多加一個黑色，則節點 c 變成“紅 - 黑”或“黑 - 黑”（紅黑樹定義最後一條）
• 關注節點變成節點 c，第二步調整操作針對關注點進行調整。
  

（2）針對關注節點二次調整

經過初步調整，關注節點變成了“紅 - 黑”或“黑 - 黑”節點。
二次調整的目的：紅黑樹中不存在相鄰的紅色節點
==》四種情況：

case1：若關注節點是 a，其兄弟節點 c 是紅色，則：

• 圍繞關注節點 a 的父節點 b 左旋；
• 關注節點 a 的父節點 b 和 祖父節點 c 交換顏色；
• 關注節點不變；
• 繼續從四種情況中選擇合適的規則來調整。
  

case2：若關注節點是 a，其兄弟節點 c 是黑色，並且節點 c 的 左右子節點 d、e都是黑色，則：

• 將關注節點 a 的兄弟節點 c 的顏色設定為 紅色；
• 從關注節點 a 中去掉一個黑色==》節點 a 為單純的紅色或黑色；
• 給關注節點 a 的父節點 b 新增一個黑色==》節點 b 變成“紅 - 黑”或者“黑 - 黑”；
• 關注節點從 a 變成其父節點 b；
• 繼續從四種情況中選擇符合的規則來調整。
  

case3：關注節點是 a，其兄弟節點 c 是黑色，c 的左子結點 d 是紅色，c 的右子節點 e 是黑色，則：

• 圍繞關注節點 a 的兄弟節點 c 左旋；
• 節點 c 和節點 d 交換顏色；
• 關注節點不變；
• 跳轉case4，繼續調整。
  

case4：若關注節點 a 的兄弟節點 c 是黑色，且 c 的右子節點是紅色，則：

• 圍繞關注節點 a 的父節點 b 左旋；
• 將關注節點 a 的兄弟節點 c 的顏色，跟關注節點 a 的父節點 b 設定為相同的顏色；
• 將關注節點 a 的父節點 b 的顏色設定為黑色；
• 從關注節點 a 中去掉一個黑色，節點 a 就變成單純的紅色或黑色；
• 將關注節點 a 的叔叔節點 e 設定為黑色；
• 調整結束。
  

三、TIPs

• 找準關注節點，不要搞丟、搞錯關注節點