原文：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8781554

1、最大團問題

     問題描述

     給定無向圖G=(V, E)，其中V是非空集合，稱為頂點集；E是V中元素構成的無序二元組的集合，稱為邊集，無向圖中的邊均是頂點的無序對，無序對常用圓括號“( )”表示。如果U∈V，且對任意兩個頂點u，v∈U有(u, v)∈E，則稱U是G的完全子圖(完全圖G就是指圖G的每個頂點之間都有連邊)。G的完全子圖U是G的團當且僅當U不包含在G的更大的完全子圖中

     如果U∈V且對任意u，v∈U有(u, v)不屬於E，則稱U是G的空子圖。G的空子圖U是G的獨立集當且僅當U不包含在G的更大的空子圖中。G的最大獨立集是G中所含頂點數最多的獨立集。

     對於任一無向圖G=(V, E)，其補圖G'=(V', E')定義為：V'=V，且(u, v)∈E'當且僅當(u, v)∈E。
     如果U是G的完全子圖，則它也是G'的空子圖，反之亦然。因此，G的團與G'的獨立集之間存在一一對應的關係。特殊地，U是G的最大團當且僅當U是G'的最大獨立集。

     例：如圖所示，給定無向圖G={V, E}，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2), (1,4), (1,5),(2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}。根據最大團(MCP)定義，子集{1,2}是圖G的一個大小為2的完全子圖，但不是一個團，因為它包含於G的更大的完全子圖{1,2,5}之中。{1,2,5}是G的一個最大團。{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大團。右側圖是無向圖G的補圖G'。根據最大獨立集定義，{2,4}是G的一個空子圖，同時也是G的一個最大獨立集。雖然{1,2}也是G'的空子圖，但它不是G'的獨立集，因為它包含在G'的空子圖{1,2,5}中。{1,2,5}是G'的最大獨立集。{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大獨立集。

     演算法設計

     無向圖G的最大團和最大獨立集問題都可以用回溯法在O(n2^n)的時間內解決。圖G的最大團和最大獨立集問題都可以看做是圖G的頂點集V的子集選取問題。因此可以用子集樹來表示問題的解空間。首先設最大團為一個空團，往其中加入一個頂點，然後依次考慮每個頂點，檢視該頂點加入團之後仍然構成一個團，如果可以，考慮將該頂點加入團或者捨棄兩種情況，如果不行，直接捨棄，然後遞迴判斷下一頂點。對於無連線或者直接捨棄兩種情況，在遞迴前，可採用剪枝策略來避免無效搜尋。為了判斷當前頂點加入團之後是否仍是一個團，只需要考慮該頂點和團中頂點是否都有連線。程式中採用了一個比較簡單的剪枝策略，即如果剩餘未考慮的頂點數加上團中頂點數不大於當前解的頂點數，可停止繼續深度搜索，否則繼續深度遞迴當搜尋到一個葉結點時，即可停止搜尋，此時更新最優解和最優值。

     演算法具體實現如下：

1. //最大團問題 回溯法求解  
2. #include "stdafx.h"  
3. #include <iostream>  
4. #include <fstream>  
5. using namespace std;  
6.   
7. const int N = 5;//圖G的頂點數  
8. ifstream fin("5d7.txt");     
9.   
10. class Clique  
11. {  
12.     friend int MaxClique(int **,int[],int);  
13.     private:  
14.         void Backtrack(int i);  
15.         int **a,        //圖G的鄰接矩陣  
16.             n,          //圖G的頂點數  
17.             *x,         //當前解  
18.             *bestx,     //當前最優解  
19.             cn,         //當前頂點數  
20.             bestn;      //當前最大頂點數  
21. };  
22.   
23. int MaxClique(int **a, int v[], int n);  
24.   
25. int main()  
26. {  
27.     int v[N+1];  
28.     int **a = new int *[N+1];    
29.     for(int i=1;i<=N;i++)      
30.     {      
31.         a[i] = new int[N+1];      
32.     }   
33.       
34.     cout<<"圖G的鄰接矩陣為:"<<endl;  
35.     for(int i=1; i<=N; i++)    
36.     {    
37.         for(int j=1; j<=N; j++)    
38.         {    
39.             fin>>a[i][j];        
40.             cout<<a[i][j]<<" ";      
41.         }    
42.         cout<<endl;    
43.     }  
44.   
45.     cout<<"圖G的最大團解向量為："<<endl;  
46.     cout<<"圖G的最大團頂點個數為："<<MaxClique(a,v,N)<<endl;  
47.   
48.     for(int i=1;i<=N;i++)      
49.     {      
50.         delete[] a[i];     
51.     }   
52.     delete []a;  
53.     return 0;  
54. }  
55.   
56. // 計算最大團  
57. void Clique::Backtrack(int i)  
58. {  
59.     if (i > n) // 到達葉結點  
60.     {  
61.         for (int j = 1; j <= n; j++)  
62.         {  
63.             bestx[j] = x[j];  
64.             cout<<x[j]<<" ";  
65.         }  
66.         cout<<endl;  
67.         bestn = cn;  
68.         return;  
69.     }  
70.     // 檢查頂點 i 與當前團的連線  
71.     int OK = 1;  
72.     for (int j = 1; j < i; j++)  
73.     if (x[j] && a[i][j] == 0)  
74.     {  
75.         // i與j不相連  
76.         OK = 0;  
77.         break;  
78.     }  
79.   
80.     if (OK)// 進入左子樹  
81.     {  
82.         x[i] = 1;  
83.         cn++;  
84.         Backtrack(i+1);  
85.         x[i] = 0;  
86.         cn--;  
87.     }  
88.   
89.     if (cn + n - i >= bestn)// 進入右子樹  
90.     {  
91.         x[i] = 0;  
92.         Backtrack(i+1);  
93.     }  
94. }  
95.   
96. int MaxClique(int **a, int v[], int n)  
97. {  
98.     Clique Y;  
99.   
100.     //初始化Y  
101.     Y.x = new int[n+1];  
102.     Y.a = a;  
103.     Y.n = n;  
104.     Y.cn = 0;  
105.     Y.bestn = 0;  
106.     Y.bestx = v;  
107.     Y.Backtrack(1);  
108.     delete[] Y.x;  
109.     return Y.bestn;  
110. }  

     2、圖的m著色問題

     問題描述

       給定無向連通圖G和m種不同的顏色。用這些顏色為圖G的各頂點著色，每個頂點著一種顏色。是否有一種著色法使G中每條邊的2個頂點著不同顏色。這個問題是圖的m可著色判定問題。若一個圖最少需要m種顏色才能使圖中每條邊連線的2個頂點著不同顏色，則稱這個數m為該圖的色數。求一個圖的色數m的問題稱為圖的m可著色優化問題。

     四色猜想：四色問題是m圖著色問題的一個特例，根據四色原理，證明平面或球面上的任何地圖的所有區域都至多可用四種、顏色來著色，並使任何兩個有一段公共邊界的相鄰區域沒有相同的顏色。這個問題可轉換成對一平面圖的４－著色判定問題(平面圖是一個能畫於平面上而邊無任何交叉的圖)。將地圖的每個區域變成一個結點，若兩個區域相鄰，則相應的結點用一條邊連線起來。多年來，雖然已證明用5種顏色足以對任一幅地圖著色，但是一直找不到一定要求多於4種顏色的地圖。直到1976年這個問題才由愛普爾，黑肯和考西利用電子計算機的幫助得以解決。他們證明了4種顏色足以對任何地圖著色。

     演算法設計

     考慮所有的圖，討論在至多使用m種顏色的情況下，可對一給定的圖著色的所有不同方法。通過回溯的方法，不斷的為每一個節點著色，在前面n-1個節點都合法的著色之後，開始對第n個節點進行著色，這時候列舉可用的m個顏色，通過和第n個節點相鄰的節點的顏色，來判斷這個顏色是否合法，如果找到那麼一種顏色使得第n個節點能夠著色，那麼說明m種顏色的方案是可行的。

     用m種顏色為無向圖G=(V,E)著色，其中，V的頂點個數為n，可以用一個n元組x=(x1,x2,…,xn)來描述圖的一種可能著色，其中，xi∈{1, 2, …, m}，(1≤i≤n)表示賦予頂點i的顏色。例如，5元組(1, 2, 2, 3, 1)表示對具有5個頂點的無向圖（a）的一種著色，頂點A著顏色1，頂點B著顏色2，頂點C著顏色2，如此等等。如果在n元組X中，所有相鄰頂點都不會著相同顏色，就稱此n元組為可行解，否則為無效解。容易看出，每個頂點可著顏色有m種選擇，n個頂點就有mn種不同的著色方案，問題的解空間是一棵高度為n的完全m叉樹，這裡樹高度的定義為從根節點到葉子節點的路徑的長度。每個分支結點，都有m個兒子結點。最底層有mn個葉子結點。例如，表示用3種顏色為3個頂點的圖著色的狀態空間樹。如圖所示，對第i（i>=1）層上的每個頂點，從其父節點到該節點的邊上的標號表示頂點i著色的顏色編號。

    演算法具體實現程式碼如下：

1. //圖的著色問題 回溯法求解  
2. #include "stdafx.h"  
3. #include <iostream>  
4. #include <fstream>  
5. using namespace std;  
6.   
7. const int N = 5;//圖的頂點數  
8. const int M = 3;//色彩數  
9. ifstream fin("5d8.txt");   
10.   
11. class Color  
12. {  
13.     friend int mColoring(int, int, int **);  
14.     private:  
15.         bool Ok(int k);  
16.         void Backtrack(int t);  
17.         int n,      //圖的頂點數  
18.             m,      //可用的顏色數  
19.             **a,    //圖的鄰接矩陣  
20.             *x;     //當前解  
21.         long sum;   //當前已找到的可m著色方案數  
22. };  
23.   
24. int mColoring(int n,int m,int **a);  
25.   
26. int main()  
27. {  
28.     int **a = new int *[N+1];    
29.     for(int