問題描述：在比較兩組獨立正態分佈樣本的均值時用t test，那麼比較多組樣本的均值呢？要用one-way ANOVA。

Note: 使用ANOVA時，要假定k個組的方差相同。如果k個組的方差並不相同，就不應該使用ANOVA，要分別對兩組間用t檢驗。

當我們看到這種要同時比較多組樣本的均值時，首先就要想到one-way ANOVA，然後再想想用此檢驗方法是否真的合適。比如下面的例子：

研究肺功能與吸菸的關係，以“用力中期撥出量（FEF）”作為指標，統計結果如下，

組號	組名	mean(FEF)	SD(FEF)	n
1	NS(非吸菸者)	3.78	0.79	200
2	PS(被動吸菸者)	3.30	0.77	200
3	NI(非吸入吸菸者)	3.32	0.86	50
4	LS(輕度吸菸者)	3.23	0.78	200
5	MS(中度吸菸者)	2.73	0.81	200
6	HS(重度吸菸者)	2.59	0.82	200

思考過程：
1，首先，6組的方差接近，沒有理由認為6組方差不等，可以使用one-way ANOVA；
2，建立零假設：6組的平均值都相同；
備擇假設：6組中至少有兩組均值不等。
3，計算組間平方和（組間波動）、組內平方和（組內波動）。組間平方和越大，預示著不同組的差別越大，越傾向於備擇假設成立；反之，p-value就越大，傾向於零假設成立。
Within SS = ${\sum }_{}^{}$

i = 1 k ∑ j = 1 n i ( y i j − y i ˉ ) 2 ， 其 中 y i j 為 第 i 組 的 第 j 個 元 素 、 y i ˉ 為 第 i 組 的 平 均 值 \sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}(y_{ij}-\bar{y_{i}})^{2}，其中y_{ij}為第i組的第j個元素、\bar{y_{i}}為第i組的平均值 ；
容易計算Within SS = $\sum_{i=1}^{k}(n_{i}-1)s_{i}^2$。
Between SS = $\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_{i}}(\bar{y_{i}}-\bar{\bar{y}})^2，其中\bar{y_{i}}為第i組的平均、\bar{\bar{y}}為全部的平均$；
容易計算Between SS = $\sum_{i=1}^{k}n_{i}\bar{y_{i}}^2-n\bar{\bar{y}}^2$。
4，構建檢驗統計量，書上說Between MS/Within MS服從F分佈（Between MS = Between SS/(k-1)，即Between SS除以對應自由度；Within MS = Within SS/(n-k)，即Within SS除以剩下的自由度，總自由度為n-1）。
F統計量 = Between MS/Within MS（服從 $F_{k-1,n-k}$分佈）
5，進行統計推斷。
精確p值為p = Pr( $F_{k-1,n-k} > F$)

對上述例子進行計算：

Within MS = 184.38/5 = 36.875
Between MS = 663.87/1044 = 0.636
F = Between MS/Within MS = 58 ~ $F_{5, 1044}$

結論：p < 0.001，所以應該要拒絕原假設，即至少有兩組的平均肺功能不同。

上面的例子到這裡還沒有完，很多情況下會關注到底哪些組之間有顯著差別，有以下幾種方式：

1，指定兩組間比較的t檢驗（least significant difference, 即LSD法），此方法跟分別對兩組間用t檢驗的區別是要用總體的標準差（即Within MS）代替兩組的標準差進行t統計量的計算。

2，預先選取 $l_{1}$個組和 $l_{2}$個組進行比較。例如要比較吸入抽菸者和非抽菸者的肺功能，將上表三組抽菸者合併成一組去與非抽菸者比較。遇到的問題是在人群中輕度、中度和重度抽菸者的比例不是表中的1:1:1，而是1:7:2，此時要用到線性約束的估計和檢驗。

一個線性約束是值對某些組的均值做線性組合，而線性組合中的係數之和為0： $L = \sum_{i=1}^{k}c_{i}\bar{y}，要求\sum_{i=1}^{k}c_{i} = 0$

2.1 用線性約束表示非抽菸者和吸入式抽菸者為： $L = \bar{y_{1}} -0.1\bar{y_{2}}-0.7\bar{y_{3}}-0.2\bar{y_{4}}$
2.2 設 $\mu_{L}為線性約束L的理論均值，則建立的假設檢驗如下：$
$H_{0}: \mu_{L} = 0對H_{1}: \mu_{L} \neq 0$

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