假設檢驗原理

小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生。

多重假設檢驗原理

小概率事件在多次重複試驗中必定會發生。

單樣本二項式檢驗（binomial test）

問題：調查北京市所有人喜歡吃麵食還是吃米飯（都不喜歡吃的忽略），在北京街頭隨機選了10個人（樣本有點少），有8個喜歡吃麵食，2個喜歡吃米飯。由此能否否定北京人喜歡吃麵食的比例為p = 0.5呢？

建立零假設（null hypothesis）: 北京人喜歡吃麵食的比例為p = 0.5，由此就可以得到一個二項式分佈，Pr(X = k) = $($

進行統計推斷：容易計算，Pr(X >= 8)的概率為0.055，由對稱性，Pr(X <= 2)的概率也為0.055。為了統計檢驗的嚴格性，一般要用雙尾（單尾雙尾如何選擇）。這樣在零假設的基礎上，得到Pr(X = 8)或更極端的概率為0.11，這個概率不算小，無法推翻零假設。所以無法否定北京人喜歡吃麵食的比例為50%這個結論。

符號檢驗（sign test）

此檢驗屬於非引數檢驗的範疇，針對配對樣本。此檢驗的核心是二項分佈（或者有二項分佈近似而來的正態分佈）。

那麼何時應選用符號檢驗？
1，有序的匹配資料。如兩種治療面板晒傷的藥A，B，A塗左手，B塗右手，比較一下哪種藥的效果更好。這時只關心A>B或A=B或A<B，並不關心A與B的差異有多大，應選用符號檢驗。
2，基數資料，但正態假設不成立，無法使用t檢驗來判斷兩組數的均值是否有顯著差異（引數檢驗的統計效力要比非引數檢驗大，所以能用配對t檢驗的就不要用符號檢驗）。

建立零假設：以有序的匹配資料為例，零假設是藥A與B的效果，即假設A>B和A<B的比例都為1/2(A=B對假設檢驗沒有貢獻，故去掉)。翻譯成數學語言為：Pr(A>B) = 1/2。

進行統計推斷：在Pr(A>B) = 1/2的基礎上，判斷實際的Pr(A>B)或更極端的概率。這就轉化為一個單樣本二項式檢驗了。對此檢驗概率的計算由下面兩種方法：
1，精確方法
設m為A>B何A<B的總個數，n為A>B的個數，由二項分佈的公式，
if n >= m/2，則 $p = 2 * \sum_{k=n}^{m}\binom{m}{k}(\frac{1}{2})^{m}$,
else, $p = 2 * \sum_{k=0}^{n}\binom{m}{k}(\frac{1}{2})^{m}$。
2，正態理論近似
值得注意的是，在npq>=5時，即這裡的n*(1/2)*(1/2)>=5，即n>=20時，可以用正態分佈來代替二項分佈計算p value。
設m為A>B和A<B的總個數，n為A>B的個數，用來近似的正態分佈的均值為mean=m/2，方差var=m/4，則
if n >= m/2，則 $p = 2 * (1 - \phi(\frac{n - m/2 - 0.5}{\sqrt{m/4}}))$,
else, $p = 2 * \phi(\frac{n - m/2 + 0.5}{\sqrt{m/4}})$。
Note: 上式中的加減0.5使用了連續性修正，使得二項分佈更好地被正態分佈所近似。