最大k乘積問題

問題描述
設I是一個n位十進位制整數。如果將I分割為k段，則可得到k個整數。這k個整數的乘積稱為I的一個k乘積。試設計一個演算法，對於給定的I和k，求出I的最大k乘積。

樣例輸入：

• 第一組
  5 2
  12345

• 第二組
  5 3
  4 5 6 2 1

樣例輸出

• 第一組
  6170

• 第二組
  12420

問題分析：

典型的區間動規問題

dp[i][j] 的意思就是前i位數，分成j段時的最優解

最優子結構：

dp[i][j] = dp[k][j-1] * m[k+1][i];

前i位數，分成j段時的最優解，可以看成前k位，分成j-1段時的最優解乘上最後i - k 位的值(m[k+1][j])的值。dp[k][j-1]就是這個問題的子問題。而且他又可以寫成他的子問題乘的形式。
從上面的解釋我們可以看出存在大量的重複子問題，但是由於演算法是自底向上的，之前計算過的最優值已經被儲存的數組裡，當問題呼叫他的子問題的時候，只需取出陣列中的數即可，免去了重複計算所帶來的時間複雜度，這就是動規的精髓所在。

程式碼

/*
最大k乘積問題 
 
設I是一個n位十進位制整數。如果將I分割為k段，則可得到k個整數。這k個整數的乘積稱為I的一個k乘積。
試設計一個演算法，對於給定的I和k，求出I的最大k乘積。

*/
 
 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

#define MAX_N 110

static int dp[MAX_N][MAX_N];//從i開始往後j位數 
static int m[MAX_N][MAX_N];//m數組裡儲存的是從第i位到第j位的數是多少
 
void dp1(int n)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)//初始化，前i位數字分一段就是第一位到第 i位表示的數
 

		{
			dp[i][1] = m[1][i]; 
		}
		for(int j=2;j<=n;j++)//分割段數 
		{
			for(int i=j;i<=n;i++)//位數 
			{
				for(int k=1;k<i;k++)    
           		{    
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*m[k+1][i]); 
           		}
			}
		}
 } 
 
int main()
{
	int n,k;
	cout << "請輸入數字的位數 ，要分成的段數" << endl;
	while(cin >> n >> k)
	{
		memset(m,0,MAX_N*MAX_N); 				 
		memset(dp,0,MAX_N*MAX_N);
		cout << "請輸入一個" << n << "位數" << endl;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			char ch;
			cin>>ch;
			m[i][i]=ch-'0'; 
		}		
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=i + 1;j<=n;j++)
			{
				m[i][j] = m[i][j-1]*10 + m[j][j];
			}
		}
		dp1(n);
		printf("%d位數分成%d段相乘所得到的最大值是： %d\n",n,k,dp[n][k]);
//		cout << "最優值表" << endl;
//		for(int i = 1;i <=n;i ++ ){
//			for(int j = 1;j <= i;j ++){
//				cout << dp[i][j] << "   ";
//			}
//			cout << endl;
//		}
		cout << endl << "請輸入n ，k" << endl;
	}
	return 0;
}