簡述

先寫遞迴，有了遞迴之後，就換用遞推來加快速度。

演算法思路

• q(n, m)表示，n這個整數被劃分，其中最大可能整數是m的所有劃分情況數目。明顯，所求，即為q(n,n)
• 當m>n時，明顯有 q(n, m) = q(n, n)。因為，保證了所有整數都必須是大於等於1的。所以，限制再高的上限都沒有任何的意義。
• 當m=n時候，明顯有兩種劃分，第一種就是全部拿走，另一種就是不全部拿走。即，q(n,n) = 1+q(n, n-1)。
• 當m<n時候，同之前的方法類似。要麼是不拿走當前最大值的可能，要麼就是拿走最大值的。即，q(n, m) = q(n, m-1) + q(n-m, m)

為什麼需要考慮後面的兩種分開，主要是為了避免n==0 (n-m == 0)的時候需要求解。

程式碼

遞迴：

#include <iostream>
using namespace std;


int cal(int n, int m){
    if (n==1||m==1) return 1;
    if (m > n) return cal(n, n);
    if (n==m) return 1 + cal(n, m-1);
    return cal(n-m, m) + cal(n, m-1);   
}

int main(){
    int
 
 n;
    while(cin >> n && n >= 1)
        cout << cal(n, n)<< endl;
}

遞推：

#include <iostream>
using namespace std;


unsigned int** arr;

void cal(int n){
    arr = new unsigned*[n+1];
    for (int i = 0; i <= n; ++i) arr[i] = new unsigned[n+1];

    for (int i = 1
 
; i <= n; ++i) arr[i][1] = 1; // max number equal to  1
    // arr[i][j] 表示i這個數被劃分時，最大可能的數為j的所有可能。
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 2; j <= n; ++j)
            if (i < j) arr[i][j] = arr[i][i];
            else if (i == j) arr[i][j] = 1 + arr[i][j-1];
            else arr[i][j] = arr[i][j-1] + arr[i-j][j]; 

    cout << arr[n][n]<< endl;

    for (int i = 0; i <= n; ++i) delete []arr[i];
    delete [] arr;
}

int main(){
    int n;
    while(cin >> n && n >= 1)
        cal(n);
}