二、第二課時

　1）極限：

　　通俗語言：函式f在\(x_0\)處的極限是L

　　數學符號：\(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = L\)

　　無窮如何比較大小呢？如x趨近0的時候，\(sin(x)\)和\(tan(x)\)同樣都趨近0，哪個趨近0的速度更快呢？我們可以採用求商的極限來求解：\(\lim_{x\rightarrow 0} sin(x)/tan(x) = \lim_{x\rightarrow } cos(x) = 1\)，所以是同樣級別的無窮小

　　夾逼定理：如果三個函式滿足：\(f(x) <= g(x) <= h(x)\)，並且他們在\(x_0\)處均有極限，則：\(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) <= \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) <= \lim_{x\rightarrow x_0} h(x)\)

　　幾個重要的極限：

　　　\(\lim_{x\rightarrow 0} sin(x)/x = 1\)

　　　\(\lim_{x\rightarrow \infty } x^a/e^x = 0\)，對於任意的正數\(a\)

　　　\(\lim_{x\rightarrow \infty } ln(x)/x^a = 0\)，對於任意的正數\(a\)

　　　\(\lim_{x\rightarrow \infty } (1 + 1/x)^x = e\)

　　2）導數

　　如果一個函式\(f(x)\)在\(x_0\)附近有定義，並且存在極限：\(L = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) -f(x_0)}{x - x_0}\)，那麼\(f(x)\)在\(x_0\)處可導且導數\(f'(x_0) = L\)

　　3）鏈式法則：即符合函式的求導法則

　　如：\(y = x^x\)，求其導數。兩邊取對數：\(lny = xlnx\)，然後兩邊同時求導：\((1/y)y'=lnx + 1\)，\(y' = (lnx + 1)x^x\)

三、第三課時

　1）單變數函式的黎曼積分：

　　\(f(x)\)為開區間(a, b)上的一個連續函式，對於任意一個正整數n，我們定義：\(x_i = a + i(b - a)/n\)，求和式：\( S_n(f) = \sum_{i=1}^{n}f(x_i)(x_{i+1} - x_i) \)

　　如果極限\(\lim_{n->\infty }S_n(f)\)存在，那麼函式\(f(x)\)在這個區間上的黎曼積分為：\( \int_{a}^{b}f(x)dx = \lim_{n->\infty }S_n(f) \)

　　我們可以這樣理解：把區間分成n份，求函式與x軸的面積和