高斯函式與高斯濾波

一維高斯函式我們都熟悉，形式如下：

\[G(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})\]

計算機視覺中，高斯濾波使用的高斯核為\(x\)和\(y\)兩個一維高斯的乘積，兩個維度上的標準差\(\sigma\)通常相同，形式如下：

\[G(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2})\]

高斯濾波（平滑），即用某一尺寸的二維高斯核與影象進行卷積。高斯核是對連續高斯函式的離散近似，通常對高斯曲面進行離散取樣和歸一化得出，這裡，歸一化指的是卷積核所有元素之和為1，下圖為標準高斯和\(\sigma=1.4\)

標準差

當\(\mu=0\)時，唯一需要控制的引數就是標準差\(\sigma\)，多少合適呢？\(\sigma\)的確定十分依賴於問題背景，需要具體問題具體分析。但理解\(\sigma\)的作用，可以指導調整的方向。

高斯核可以看成是與中心距離負相關的權重。平滑時，調整\(\sigma\)實際是在調整週圍畫素對當前畫素的影響程度，調大\(\sigma\)即提高了遠處畫素對中心畫素的影響程度，濾波結果也就越平滑。高斯曲線隨\(\sigma\)變化的曲線如下：

從頻域角度看，高斯函式的傅立葉變換仍是高斯，兩者標準差間的關係如下：

\[\sigma_x = \frac{1}{2\pi \sigma_w}\]

其中，\(\sigma_x\)為空域高斯的標準差，\(\sigma_w\)為對應頻域高斯的標準差，在空域進行高斯平滑相當於頻域低通濾波，\(\sigma_x\)越大，\(\sigma_w\)越小，頻域高斯越集中，高頻成分削弱得越多，影象越平滑。

從低通濾波角度考慮，可以對影象做傅立葉變換進行頻譜分析，疊加上頻域高斯並調整檢視效果，找到適合的\(\sigma_w\)，再推算出空域高斯所需的\(\sigma_x\)。

視窗大小

標準差\(\sigma\)確定後，接下來需要確定視窗大小。上面講了高斯核是對連續高斯的離散近似，視窗越大自然近似越好，但高斯函式是鐘形曲線，距離中心越遠數值越小，足夠遠處可以忽略不計，但多遠算遠呢？

鍾型曲線在區間\((\mu - \sigma, \mu +\sigma)\)範圍內的面積佔曲線下總面積的\(68\%\)，\((\mu - 2\sigma, \mu +2\sigma)\)範圍佔\(95\%\)，\((\mu - 3\sigma, \mu +3\sigma)\)範圍佔\(99.7\%\)，一般\(3\sigma\)外的數值已接近於0，可忽略，半徑為\(3\sigma\)即視窗大小為\(6\sigma \times 6\sigma\)即可，通常取最近的奇數。上述3個範圍在一維和二維高斯中示意如下：

OpenCV中標準差與視窗大小的換算

在OpenCV函式createGaussianFilter中，若未指定視窗大小，通過\(\sigma\)推算視窗大小方式如下，半徑為\(\sigma\)的3或4倍：

若指定了視窗大小，但未指定\(\sigma\)大小，則通過視窗大小推算\(\sigma\)的方式如下：

\[\sigma = 0.3\times((ksize - 1)\times0.5 - 1) + 0.8\]

具體地，在函式getGaussianKernel中，當ksize不大於7時，直接從內部的\(small_gaussian_tab\)取對應大小的高斯核，若大於7，則使用上式計算出\(\sigma\)然後套用高斯公式，最後再歸一化。

在實際使用時，為了高效，卷積核通常取\([0, 255]\)範圍內的整數（1個Byte），因此高斯核中心最大取值為255時，視窗尺寸的選取只需讓高斯核邊界值剛好大於0即可。令高斯核尺寸為\(n\)，半徑為\(r\)，\(r = \frac{n-1}{2}\)，高斯核\(x\)軸上邊界\((r, 0)\)處與中心\((0, 0)\)處數值之比如下：

\[\frac{G(r, 0)}{G(0, 0)} = \exp(-\frac{r^2}{2 \times (0.3(r-1)+0.8)^2})\]

當\(r\)足夠大，其極限為\(\exp(-\frac{1}{2\times0.3^2})=0.00386592\)，若中心值為255，則邊界值為\(255*0.00386592=0.9858096 \approx 1\)，是合適的。但公式是如何設計出來的還不清楚，這裡只是校驗了其性質，sigh。

參考