均值與方差

首先回憶下均值和方差的定義，若存在\(n\)個數為\(x_1, x_2, \dots, x_n\)，則均值\(\mu\)為：

\[\mu = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\]

均值衡量的是數值集中在哪個數值附近。令標準差為\(\sigma\)，則方差\(\sigma^2\)為：

\[\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2\]

標準差用於衡量數值分佈距離均值的平均距離，即資料的集中程度。

定性分析

定性地分析，高斯濾波（平滑）對影象進行平滑，會讓當前畫素與周圍畫素更加接近，畫素間更加接近自然方差會變小。從頻域角度，高斯濾波相當於低通濾波，會移除影象中“突兀”的高頻成分

定量分析

定量地看，若不對影象進行任何假設，認為每個畫素符合獨立同分布，其均值和方差分別為\(\mu\)和\(\sigma^2\)，對其進行高斯濾波，假定視窗內共有\(n\)個畫素，灰度值為\(x_1, x_2, \dots, x_n\)，對應的高斯權重為\(g_1, g_2, \dots, g_n\)，有\(\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0\)，則濾波後的當前畫素的值為：

\[y = \sum_{i=1}^{n} g_i x_i\]

\(y\)的方差即：

\[Var(y) = Var(\sum_{i=1}^{n} g_i x_i)=Var(g_1 x_1 + g_2 x_2 +\dots+g_n x_n)\]

其中當高斯核確定後，\(g_1, g_2, \dots, g_n\)為常數，因為\(x_1, x_2, \dots, x_n\)相互獨立且同分布，則進一步地

\[Var(y) = g_1^2 Var(x_1)+g_2^2Var(x_2)+\dots+g_n^2Var(x_n)=\sigma_2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2\]

由上\(\sum_{i=1}^n g_i = 1, \forall g_i>0\)，\(\forall g_i <1\)，則\(\sum_{i=1}^{n}g_i^2 < 1\)，所以\(Var(y)=\sigma^2 \sum_{i=1}^{n}g_i^2 < \sigma^2\)

這裡並不限於高斯濾波，對其他平滑濾波器同樣試用——只需滿足上述權重條件即可，即平滑濾波器將降低影象的方差。

當然，也可以從連續角度分析，具體可見參考部分。

參考