title: 【線性代數】3-4:方程組的完整解( $Ax=b$ ) categories:

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• Complete Solution toc: true date: 2017-09-25 15:20:42

Abstract: Ax=b的完整解，以及一個解，infinity個解，沒有解的所有條件和說明 Keywords: Ax=b,Special Solution,Full Column Rank,Full Row Rank,Complete Solution

開篇廢話

廢話沒啥好說的，成長總要經歷痛苦，只有不斷的讓自己痛苦才能不斷的提升能力，逐漸掌握自己的命運，一直生活在安逸快樂中是個好事，但有一天命運一旦降臨將束手無措，也許一輩子的辛苦努力就是為了逃過某次致命一擊，用一生的辛苦來扼住命運的喉嚨，不也是精彩的一生麼？別抱怨社會，別抱怨政府，也別抱怨不公平，如果認定不公平，那為什麼不是獲利一方？如果說自己的父親不給力，那你有一天也是別人的父親，原始財富一定要有人積累，這也對家族的責任。

$Ax=b$

之前我們已經研究了 $Ax=0$的相關內容，值得說一下的是，列空間和nullspace是有些區別的，列空間指的是b所在的空間，而nullspace是x所在的空間，這個要區別一下，這些所有空間都是針對矩陣的。

One Particular Solution

搞不懂Particular Solution和Sceptical Solution有啥區別的可以仔細看看了，之前我也沒發現其有什麼根本不同，Particular Solution是把所有的free variables設定為0，來一個完整的例子 $$ \begin{bmatrix} 1&3&0&2\ 0&0&1&4\ 1&3&1&6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\x_2\x_3\x_4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1\6\7 \end{bmatrix} $A$

ugmentedMatrix: Augmented Matrix: \begin{bmatrix} 1&3&0&2&1\ 0&0&1&4&6\ 1&3&1&6&7 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} A&b \end{bmatrix} $經過消元，對原始矩陣方程消元和對Augment Matrix消元得到結果相同，這裡就只寫augment matrix：$ \begin{bmatrix} 1&3&0&2&1\ 0&0&1&4&6\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} R&d \end{bmatrix} KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 41: …s是第二列和第四列，如果我們把$̲x_2,x_4$設定為零，那麼… \begin{bmatrix} x_1\x_2\x_3\x_4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1\0\6\0 \end{bmatrix} =x_{particular} $$ 可以通過回代驗證$Rx=d$或者$Ax=b$這裡的free variables都是0，那麼就說這個解是particular的，而且可以發現pivot對應的x位置與d有關係，按順序就是d對應的元素，這不是巧合，觀察矩陣可以得到相應的結論。

這是我們到目前位置討論的方程組的兩種解，一個當b=0的時候，一個當b不等於0的時候，如果我們把這兩個方程組左右相加，那麼就得到 $Ax_p=b\\ Ax_n=0\\ Ax_p+Ax_n=b+0\\ A(x_p+x_n)=b$ 那麼完整的解(式子中的數字來自上面的例子，nullspace我沒有寫出來，大家可以自行驗證)：

為什麼完整解是上看的式子呢，可以看下一節的詳細介紹。

The Complete Solution

前面我們確定了完整的解就是$x_p+x_n$，那麼我們到底有多少個解呢？

這四種情況，簡單講解下：

第一種：是方陣，我們最標準的方程組，rank與m,n相等，那麼就一個解。這種情況下，消元后的R是單位矩陣： $R=\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}$

第二種：如果方程組的個數小於未知數的個數，而rank與行相同，rank=m<n,消元后的R是如下矩陣： $R=\begin{bmatrix}I&amp;F\end{bmatrix}$

第三種：如果方程組的個數大於未知數的個數，而rank與列數相同，rank=n<m,消元后的R是如下矩陣： $R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}$ 如果b與R下面全是0的行對應的行不是0，那麼就沒有解

第四種：如果有效的方程組的個數小於未知數的個數，與情況二相似，但是有效方程數還小於遠方程數，rank<m,rank<n,消元后的R是如下矩陣： $R=\begin{bmatrix}I&amp;F\\0&amp;0\end{bmatrix}$ 如果b與R下面全是0的行對應的行不是0，那麼就沒有解

自此，Ax=b 的所有解以及對應的情況都已經搞定了，***但是為啥complete solution是$x_p+x_n$呢？***這就是個懸案了，後面一定給出答案，現在就暫時記住就好了（迴歸課堂教育，先記住，就沒有然後了）。

Conclusion

這篇也比較凌亂，不像寫演算法那種部落格很流暢，解釋，程式碼，總結這種套路在這不太實用，因為知識錯綜複雜，本文上面的四種解的情況才是重點，包括什麼時候沒有解，什麼時候無數個解，如果按照表和矩陣R的形式來看，就會豁然開朗，後面繼續。。。